最大度数>=k的树至少有k个树叶
时间: 2023-06-18 13:08:05 浏览: 48
这个结论可以通过数学归纳法来证明。
当k=1时,显然最大度数>=1的树只有一个树叶。
假设k=m时结论成立,即最大度数>=m的树至少有m个树叶。
考虑k=m+1时的情况。假设有一棵最大度数>=m+1的树T,但是它只有m个或者更少的树叶。我们选取T中的一条最长路径,设它的两个端点为u和v,路径上的中间节点依次为v1,v2,...,vk-1。由于T是一棵树,因此u和v之间只有一条简单路径,且该路径必经过v1,v2,...,vk-1中的至少一个节点,不妨设该节点为vk-1。
由于vk-1不是u或v,所以它的度数小于等于m。又因为T的最大度数>=m+1,所以vk-1必须与某个不在路径上的节点相邻。设该节点为w。
现在我们将路径u-v上的边删除,并将vk-1和w之间的边添加进来。这样得到的图仍然是一棵树,且它的最大度数>=m。因此,根据归纳假设,它至少有m个树叶。但是,由于我们将一条路径的两个端点断开,所以原来的树T至少少了一个树叶。因此,T的树叶数小于m+1,与假设矛盾。
因此,我们证明了当k=m+1时,最大度数>=m+1的树至少有m+1个树叶。由归纳原理,结论对任意正整数k均成立。
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解释节点度数的二阶矩<k^2>=<k>+<k>^2
节点度数是一个图中节点的相邻连接数量。节点度数的一阶矩(即期望值)是所有节点度数之和除以节点总数。节点度数的二阶矩是所有节点度数的平方之和除以节点总数。
<k^2>表示节点度数的二阶矩,<k>表示节点度数的一阶矩。根据定义,节点度数的一阶矩可以表示为:<k>=Σk_i/N,其中k_i表示第i个节点的度数,N表示节点总数。因此,<k>^2=(Σk_i/N)^2。
考虑展开<k^2>的求和式,我们可以得到:
<k^2> = Σk_i^2/N
将k_i表示为<k>+δ,其中δ表示节点度数与节点度数的一阶矩之差。将δ代入上式,我们可以得到:
<k^2> = Σ(<k>+δ)^2/N
展开平方项并代入<k>^2,我们可以得到:
<k^2> = <k>^2 + 2<δk> + <δ^2k^2>
其中<δk>表示节点度数与节点度数的一阶矩之差的期望值,即Σδk_i/N。由于节点度数的一阶矩是所有节点度数之和除以节点总数,因此Σδk_i=0。因此,<δk>=0。
同理,<δ^2k^2>表示节点度数与节点度数的一阶矩之差的平方的期望值,即Σ(δk_i)^2/N。由于节点度数的一阶矩是所有节点度数之和除以节点总数,因此Σ(δk_i)^2=Σ(k_i-<k>)^2。因此,<δ^2k^2>=Σ(k_i-<k>)^2/N。
将<δk>=0和<δ^2k^2>代入<k^2>的式子,我们可以得到:
<k^2> = <k>^2 + <Σ(k_i-<k>)^2>/N
由于Σ(k_i-<k>)^2表示所有节点度数与节点度数的一阶矩之差的平方之和,它等于节点度数的方差。因此,上式可以简化为:
<k^2> = <k>^2 + Var(k)
这就是节点度数的二阶矩<k^2>与一阶矩<k>的关系,即<k^2>=<k>+<k>^2。
节点度分布二阶矩证明<k^2>=<k>+(<k>)^2
我们知道,节点度分布是指在一个网络中,每个节点的度数出现的概率分布。节点度数的平均值可以表示为:
<k> = ∑kp(k)
其中,p(k)是节点度为k的概率。
二阶矩指节点度的平方的平均值,可以表示为:
<k^2> = ∑k^2p(k)
我们需要证明的是:<k^2> = <k> + (<k>)^2。
将<k>带入上式,得到:
<k^2> = ∑k^2p(k) = ∑k^2p(k) + ∑k<p(k)>^2 - ∑k<p(k)>^2
其中,第二项展开后为:<k>^2∑p(k) = <k>^2。
将第一项和第三项合并,得到:
<k^2> = ∑k^2p(k) - ∑k<p(k)>^2 + <k>^2
将p(k)拆分,得到:
<k^2> = ∑k^2p(k) - (∑kp(k))^2 + (∑kp(k))^2
化简得:
<k^2> = ∑k^2p(k) + (∑kp(k))^2 - 2∑k^2p(k) - (∑kp(k))^2 + (∑kp(k))^2
化简后得到:
<k^2> = <k> + (<k>)^2
因此,我们证明了节点度分布的二阶矩<k^2>等于节点度分布的一阶矩<k>加上一阶矩<k>的平方,即:<k^2> = <k> + (<k>)^2。