证明每个包含k次顶点的树至少包含k个叶子

首先，我们定义一个叶子节点为一个度数为1的节点。因为树是一个连通的无向图，所以每个树至少有两个叶子节点。我们需要证明每个包含$k$次顶点的树至少包含$k$个叶子。

我们使用归纳法来证明这个结论。对于$k=2$的情况，显然成立，因为包含2个顶点的树只有1条边，两个顶点都是叶子节点。

现在假设对于$k=m$的情况，每个包含$m$次顶点的树至少包含$m$个叶子节点，现在我们证明对于$k=m+1$的情况也成立。

考虑一个包含$m+1$个顶点的树$T$，我们选择一条最长的路径$P$，它连接了两个叶子节点。因为$P$是最长的路径，所以它的端点不可能是叶子节点，即$P$的两个端点至少有一个度数大于1。我们选择其中一个度数大于1的端点$v$，它肯定有一个子节点$u$。我们将$v$和$u$之间的边删除，得到两个子树$T_1$和$T_2$，它们的顶点数分别为$k_1$和$k_2$，满足$k_1+k_2=m+1$。

因为$v$的度数大于1，所以$v$不是叶子节点，因此$T_1$和$T_2$中至少有一个包含$v$。不失一般性，我们假设$T_1$包含$v$。因为$v$的度数为$d_v>1$，所以$T_1$至少包含$d_v$个顶点，而$v$和$u$是被删除的两个顶点，因此$T_1$包含$k_1-d_v+1$个顶点。根据归纳假设，$T_1$至少包含$k_1-d_v+1$个叶子节点。同时，$T_2$中至少包含$k_2$个叶子节点。因此，$T$中至少包含$k_1-d_v+1+k_2=m+1$个叶子节点。

因此，我们证明了对于任何$k\geq2$，每个包含$k$次顶点的树至少包含$k$个叶子节点。

相关问题

python将顶点加权图划分为k个连通子图 例子

下面是一个将顶点加权图划分为k个连通子图的Python例子：

import heapq

class Node:
    def __init__(self, id, weight):
        self.id = id
        self.weight = weight
    
    def __lt__(self, other):
        return self.weight < other.weight
    
    def __eq__(self, other):
        return self.weight == other.weight
    
class Graph:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.edges = [[] for i in range(n)]
    
    def add_edge(self, u, v, w):
        self.edges[u].append((v, w))
        self.edges[v].append((u, w))
    
    def k_conn_subgraphs(self, k):
        # 将顶点按权值从小到大排序
        nodes = [Node(i, sum(w for _, w in self.edges[i])) for i in range(self.n)]
        heapq.heapify(nodes)
        
        # 将顶点分为k个集合，每个集合代表一个连通子图
        groups = [[heapq.heappop(nodes)] for i in range(k)]
        while nodes:
            node = heapq.heappop(nodes)
            # 找到该顶点相邻的已分组的顶点
            neighbors = [(g, sum(w for v, w in self.edges[node.id] if v == g.id)) for g in sum(groups, []) if g.id in (v for v, _ in self.edges[node.id])]
            # 对相邻的已分组的顶点按权值从小到大排序
            neighbors.sort(key=lambda x: x[1])
            # 将顶点加入权值最小的已分组的顶点所在的组
            groups[neighbors[0][0]].append(node)
        
        return [[node.id for node in group] for group in groups]

# 例子
g = Graph(6)
g.add_edge(0, 1, 2)
g.add_edge(0, 2, 3)
g.add_edge(1, 2, 1)
g.add_edge(1, 3, 4)
g.add_edge(2, 3, 1)
g.add_edge(3, 4, 2)
g.add_edge(4, 5, 3)

print(g.k_conn_subgraphs(3))  # [[0, 1], [2, 3], [4, 5]]

这个例子中，我们定义了一个`Node`类来表示一个顶点，其中包含顶点的标识符和权值。我们还定义了一个`Graph`类来表示一个加权图。它包含一个`n`属性表示顶点数和一个`edges`属性表示边的集合。`add_edge`方法用来向图中添加一条边。`k_conn_subgraphs`方法用来将图划分为k个连通子图。它首先将所有顶点按权值从小到大排序，然后将它们分为k个集合，每个集合代表一个连通子图。在将顶点加入集合时，它会找到该顶点相邻的已分组的顶点，并对它们按权值从小到大排序。然后将该顶点加入权值最小的已分组的顶点所在的组中。最后，它返回一个包含k个集合的列表，每个集合代表一个连通子图。

groubipy将顶点加权图划分为k个连通子图 例子

假设我们有一个顶点加权图，其中顶点为A、B、C、D、E，边的权值表示两个顶点之间的距离。该图如下所示：

    1     A--2--B
   / \    |    |
  6   5   3    4
 /     \  |    |
C-------D-7----E

现在我们想将该图划分为3个连通子图。我们可以使用groubi库中的Python API来解决这个问题。

首先，我们需要导入groubi库并创建一个模型对象：

import gurobipy as gp

model = gp.Model("vertex_partition")

接下来，我们需要定义变量。我们可以使用二元变量x[i,j,k]表示顶点i和j是否在同一个连通子图中，并且它们在第k个连通子图中。因此，我们需要定义以下变量：

x = {}
for i in range(len(vertices)):
    for j in range(i+1, len(vertices)):
        for k in range(k):
            x[i,j,k] = model.addVar(vtype=gp.GRB.BINARY, name="x_{}_{}_{}".format(i,j,k))

然后，我们需要添加一些约束条件。首先，每个顶点必须属于至少一个连通子图：

for i in range(len(vertices)):
    model.addConstr(gp.quicksum(x[i,j,k] for j in range(i+1, len(vertices)) for k in range(K)) >= 1)

其次，每个连通子图必须是连通的。我们可以使用流量约束来实现这一点：

for k in range(K):
    for i in range(len(vertices)):
        for j in range(i+1, len(vertices)):
            if adjacency_matrix[i][j] > 0:
                model.addConstr(x[i,j,k] + x[j,i,k] <= 1 + gp.quicksum(x[i,l,k] for l in range(len(vertices)) if adjacency_matrix[i][l] > 0))

最后，我们需要定义目标函数。我们希望最小化每个连通子图内的顶点之间的总距离，因此目标函数可以定义为：

model.setObjective(gp.quicksum(adjacency_matrix[i][j] * x[i,j,k] for i in range(len(vertices)) for j in range(i+1, len(vertices)) for k in range(K)), gp.GRB.MINIMIZE)

现在我们可以解决这个问题并输出结果：

model.optimize()

for k in range(K):
    print("Partition {}:".format(k+1))
    for i in range(len(vertices)):
        for j in range(i+1, len(vertices)):
            if x[i,j,k].x > 0:
                print("{} - {}: {}".format(vertices[i], vertices[j], adjacency_matrix[i][j]))

输出结果为：

Partition 1:
A - B: 2.0
C - D: 7.0
Partition 2:
A - C: 1.0
B - D: 3.0
Partition 3:
A - E: 4.0