python groubi将顶点加权图划分为k个连通子图

要将顶点加权图划分为k个连通子图，可以使用Gurobi进行优化。

首先，定义以下变量：

- $x_{i,j}$：如果顶点$i$和$j$属于同一个子图，则为1，否则为0。
- $y_{1}, y_{2}, ..., y_{k}$：每个子图的权重。

然后，我们需要定义以下约束条件：

- 每个顶点必须属于一个子图：$\sum_{j\neq i} x_{i,j} = 1 \ \forall i \in V$
- 每个子图必须是连通的：$\sum_{i,j \in S, i\neq j} x_{i,j} \geq 1 \ \forall S \subset V, 1<|S|\leq |V|-1$
- 每个子图的权重等于其包含顶点的权重之和：$y_{r} = \sum_{i \in V} w_{i} x_{i,r} \ \forall r = 1,2,...,k$
- 每个子图的权重之和等于总权重之和：$\sum_{r=1}^{k} y_{r} = \sum_{i \in V} w_{i}$

最后，我们需要定义目标函数，使得每个子图的权重之和最小：$\min\sum_{r=1}^{k} y_{r}$

完整的数学模型如下：

\begin{aligned} & \underset{x,y}{\text{minimize}} & & \sum_{r=1}^{k} y_{r} \\ & \text{subject to} & & \sum_{j\neq i} x_{i,j} = 1 \ \forall i \in V\\ &&& \sum_{i,j \in S, i\neq j} x_{i,j} \geq 1 \ \forall S \subset V, 1<|S|\leq |V|-1 \\ &&& y_{r} = \sum_{i \in V} w_{i} x_{i,r} \ \forall r = 1,2,...,k \\ &&& \sum_{r=1}^{k} y_{r} = \sum_{i \in V} w_{i}\\ &&& x_{i,j} \in \{0,1\} \ \forall i,j \in V \\ &&& y_{r} \geq 0 \ \forall r = 1,2,...,k \end{aligned}

其中，$w_{i}$是顶点$i$的权重。

可以使用Gurobi Python API来实现该模型。