groubipy将顶点加权图划分为k个连通子图 例子

假设我们有一个顶点加权图，其中顶点为A、B、C、D、E，边的权值表示两个顶点之间的距离。该图如下所示：

    1     A--2--B
   / \    |    |
  6   5   3    4
 /     \  |    |
C-------D-7----E

现在我们想将该图划分为3个连通子图。我们可以使用groubi库中的Python API来解决这个问题。

首先，我们需要导入groubi库并创建一个模型对象：

import gurobipy as gp

model = gp.Model("vertex_partition")

接下来，我们需要定义变量。我们可以使用二元变量x[i,j,k]表示顶点i和j是否在同一个连通子图中，并且它们在第k个连通子图中。因此，我们需要定义以下变量：

x = {}
for i in range(len(vertices)):
    for j in range(i+1, len(vertices)):
        for k in range(k):
            x[i,j,k] = model.addVar(vtype=gp.GRB.BINARY, name="x_{}_{}_{}".format(i,j,k))

然后，我们需要添加一些约束条件。首先，每个顶点必须属于至少一个连通子图：

for i in range(len(vertices)):
    model.addConstr(gp.quicksum(x[i,j,k] for j in range(i+1, len(vertices)) for k in range(K)) >= 1)

其次，每个连通子图必须是连通的。我们可以使用流量约束来实现这一点：

for k in range(K):
    for i in range(len(vertices)):
        for j in range(i+1, len(vertices)):
            if adjacency_matrix[i][j] > 0:
                model.addConstr(x[i,j,k] + x[j,i,k] <= 1 + gp.quicksum(x[i,l,k] for l in range(len(vertices)) if adjacency_matrix[i][l] > 0))

最后，我们需要定义目标函数。我们希望最小化每个连通子图内的顶点之间的总距离，因此目标函数可以定义为：

model.setObjective(gp.quicksum(adjacency_matrix[i][j] * x[i,j,k] for i in range(len(vertices)) for j in range(i+1, len(vertices)) for k in range(K)), gp.GRB.MINIMIZE)

现在我们可以解决这个问题并输出结果：

model.optimize()

for k in range(K):
    print("Partition {}:".format(k+1))
    for i in range(len(vertices)):
        for j in range(i+1, len(vertices)):
            if x[i,j,k].x > 0:
                print("{} - {}: {}".format(vertices[i], vertices[j], adjacency_matrix[i][j]))

输出结果为：

Partition 1:
A - B: 2.0
C - D: 7.0
Partition 2:
A - C: 1.0
B - D: 3.0
Partition 3:
A - E: 4.0