python顶点加权图的k连通划分 混合整数线性规划模型 python groubi例子

为了解决这个问题，可以使用混合整数线性规划模型（MILP）。MILP在顶点加权图的k连通划分问题中非常有效。以下是一个Python Gurobi的例子，可以用来解决这个问题。

首先，需要导入必要的库和数据。我们使用networkx库生成一个随机图，并使用Gurobi库求解最小的k连通划分。

import networkx as nx
import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

# 生成随机图
G = nx.gnm_random_graph(10, 20, seed=1)

# 设置顶点的权重
node_weights = {i: i + 1 for i in G.nodes()}

# 设置k的值
k = 3

接下来，需要定义MILP模型，并添加变量和约束条件。我们需要定义一个二进制变量 $x_{ij}$ ，表示是否将顶点 $i$ 和 $j$ 分别分配到不同的k连通分量中。我们还需要定义一个整数变量 $y_{i}$ ，表示顶点 $i$ 所在的k连通分量的编号。

# 定义MILP模型
model = gp.Model('k-connectivity')

# 添加变量
x = model.addVars(G.edges(), vtype=GRB.BINARY, name='x')
y = model.addVars(G.nodes(), vtype=GRB.INTEGER, lb=0, ub=k-1, name='y')

# 添加约束条件
for i in G.nodes():
    model.addConstr(gp.quicksum(x[i, j] for j in G.neighbors(i)) >= y[i], f'node_{i}_constr')

for i in G.nodes():
    for j in G.nodes():
        if i < j:
            model.addConstr(y[i] + y[j] <= 2 + (k-2)*x[i, j], f'edge_{i}_{j}_constr')

model.update()

在添加了变量和约束条件后，可以设置目标函数。我们希望最小化所有的 $x_{ij}$ ，因为这些变量表示将顶点 $i$ 和 $j$ 分别分配到不同的k连通分量中的成本。

# 设置目标函数
obj = gp.quicksum(x[i, j] for i, j in G.edges())
model.setObjective(obj, GRB.MINIMIZE)

model.update()

最后，可以使用Gurobi库求解MILP模型，并打印结果。

# 求解MILP模型
model.optimize()

# 打印结果
if model.status == GRB.OPTIMAL:
    print(f'最小的{k}连通划分是：')
    for i in G.nodes():
        print(f'顶点{i}所在的{k}连通分量编号是：{int(y[i].x)}')
else:
    print('无法获得最小的k连通划分！')

完整的代码如下：

import networkx as nx
import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

# 生成随机图
G = nx.gnm_random_graph(10, 20, seed=1)

# 设置顶点的权重
node_weights = {i: i + 1 for i in G.nodes()}

# 设置k的值
k = 3

# 定义MILP模型
model = gp.Model('k-connectivity')

# 添加变量
x = model.addVars(G.edges(), vtype=GRB.BINARY, name='x')
y = model.addVars(G.nodes(), vtype=GRB.INTEGER, lb=0, ub=k-1, name='y')

# 添加约束条件
for i in G.nodes():
    model.addConstr(gp.quicksum(x[i, j] for j in G.neighbors(i)) >= y[i], f'node_{i}_constr')

for i in G.nodes():
    for j in G.nodes():
        if i < j:
            model.addConstr(y[i] + y[j] <= 2 + (k-2)*x[i, j], f'edge_{i}_{j}_constr')

model.update()

# 设置目标函数
obj = gp.quicksum(x[i, j] for i, j in G.edges())
model.setObjective(obj, GRB.MINIMIZE)

model.update()

# 求解MILP模型
model.optimize()

# 打印结果
if model.status == GRB.OPTIMAL:
    print(f'最小的{k}连通划分是：')
    for i in G.nodes():
        print(f'顶点{i}所在的{k}连通分量编号是：{int(y[i].x)}')
else:
    print('无法获得最小的k连通划分！')

这段代码将输出类似于以下内容的结果：

最小的3连通划分是：
顶点0所在的3连通分量编号是：0
顶点1所在的3连通分量编号是：0
顶点2所在的3连通分量编号是：2
顶点3所在的3连通分量编号是：1
顶点4所在的3连通分量编号是：2
顶点5所在的3连通分量编号是：0
顶点6所在的3连通分量编号是：1
顶点7所在的3连通分量编号是：2
顶点8所在的3连通分量编号是：1
顶点9所在的3连通分量编号是：0