利用python对加权图的连通划分 混合整数线性规划模型 groubi

加权图的连通划分问题是指将给定的加权无向图分成若干个连通子图，使得每个子图的总权值最小。这个问题可以通过混合整数线性规划来建模求解。

假设图G=(V,E)中有n个节点，m条边，每条边e=(i,j)的权值为w(e)，其中i,j∈V。定义二元变量x(i,j)表示边e=(i,j)是否被选中，即：

x(i,j) = 1，若边e=(i,j)被选中

x(i,j) = 0，否则

对于每个子图k，定义二元变量y(k)表示子图k是否被选择，即：

y(k) = 1，若子图k被选择

y(k) = 0，否则

因为每个子图必须是连通的，所以对于每个子图k，需要保证其内部的所有节点能够互相到达，即对于每个节点i∈V，都必须存在一条从i到达子图中某个节点的边。因此，可以定义一组线性不等式来表示这个约束条件：

∑(i,j)∈E，i∈S，j∈T x(i,j) ≥ y(k)， ∀ k∈{1,2,...,K}， S,T是子图k的节点集合，且S∩T=∅

这组约束条件的意义是，对于子图k中的任意两个节点i和j，必须存在一条从i到达j的路径，即存在一条连接i和j的边或者一条连接i和j的路径上的所有边都被选中。

最终目标是使得所有被选中的边的权值之和最小，即：

min ∑(i,j)∈E w(e) x(i,j)

同时满足上述约束条件。

将上述模型输入到Gurobi中，可以使用以下Python代码求解：

import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

# 构建模型
model = gp.Model()

# 定义变量
x = model.addVars(edges, vtype=GRB.BINARY, name="x")
y = model.addVars(num_subgraphs, vtype=GRB.BINARY, name="y")

# 定义目标函数
obj = gp.quicksum(weights[i,j] * x[i,j] for i,j in edges)
model.setObjective(obj, GRB.MINIMIZE)

# 添加约束条件
for k in range(num_subgraphs):
    subgraph_nodes = subgraphs[k]
    for i in subgraph_nodes:
        for j in subgraph_nodes:
            if i < j:
                edges_in_subgraph = [(p,q) for (p,q) in edges if p==i and q==j or p==j and q==i]
                lhs = gp.quicksum(x[p,q] for (p,q) in edges_in_subgraph)
                rhs = y[k]
                model.addConstr(lhs >= rhs)

# 每个子图至少包含一个节点
for k in range(num_subgraphs):
    subgraph_nodes = subgraphs[k]
    lhs = gp.quicksum(y[k] for k in range(num_subgraphs) if k != subgraph_nodes)
    model.addConstr(y[k] <= lhs)

# 解决模型
model.optimize()

# 输出结果
if model.status == GRB.OPTIMAL:
    for i,j in edges:
        if x[i,j].x > 0.5:
            print(f"({i}, {j})")

在上述代码中，`edges`表示图中所有的边，`weights`表示每条边的权值，`subgraphs`表示所有的连通子图，`num_subgraphs`表示连通子图的数目。具体来说，可以通过深度优先搜索等算法来求解所有的连通子图。

注意，由于这个问题是NP-hard问题，当图的规模很大时，求解可能比较困难，需要使用一些启发式算法来加速求解。