利用python对加权图的k连通划分 混合整数线性规划模型

为了解决加权图的k连通划分问题，可以建立一个混合整数线性规划模型。下面是一个简单的模型：

1. 定义变量

设 $x_{ij}$ 表示边 $(i, j)$ 是否被选择，$y_{kij}$ 表示边 $(i, j)$ 是否被选择并且在连通块 $k$ 中。

2. 目标函数

最小化 $\sum_{i<j}w_{ij}x_{ij}$，其中 $w_{ij}$ 表示边 $(i, j)$ 的权重。

3. 约束条件

- 每个连通块 $k$ 中必须至少包含一个点 $i$：

$$\sum_{j:(i,j) \in E} \sum_k y_{kij} + \sum_{j:(j,i) \in E} \sum_k y_{kji} \geq 1, \forall i, \forall k$$

- 如果边 $(i,j)$ 被选择了，则它必须属于某个连通块 $k$：

$$x_{ij} \leq \sum_k y_{kij}, \forall (i,j) \in E$$

- 连通块 $k$ 必须是连通的：

$$\sum_{(i,j) \in E} y_{kij} \geq \sum_{i:(i,j) \in E} y_{kij} + \sum_{j:(j,i) \in E} y_{kji} - 1, \forall k, \forall i \neq j$$

- 连通块 $k$ 中的边数必须不少于 $k$：

$$\sum_{(i,j) \in E} y_{kij} \geq k, \forall k$$

- 所有变量都是 0 或 1：

$$x_{ij} \in \{0,1\}, \forall (i,j) \in E$$

$$y_{kij} \in \{0,1\}, \forall (i,j) \in E, \forall k$$

4. 求解模型

可以使用 Python 的 PuLP 库来求解上述模型。具体代码如下：

import pulp

# 定义变量
x = pulp.LpVariable.dicts('x', edges, cat=pulp.LpBinary)
y = pulp.LpVariable.dicts('y', (edges, range(k)), cat=pulp.LpBinary)

# 定义问题
prob = pulp.LpProblem('k-Connected Partition', pulp.LpMinimize)

# 定义目标函数
prob += pulp.lpSum([w[i, j] * x[(i, j)] for (i, j) in edges])

# 添加约束条件
for i in nodes:
    for k in range(k):
        prob += pulp.lpSum([y[(i, j), k] for j in graph[i]]) \
                + pulp.lpSum([y[(j, i), k] for j in graph[i]]) >= 1

for (i, j) in edges:
    prob += x[(i, j)] <= pulp.lpSum([y[(i, j), k] for k in range(k)])
    prob += x[(i, j)] <= pulp.lpSum([y[(j, i), k] for k in range(k)])

for k in range(k):
    for i in nodes:
        for j in graph[i]:
            prob += y[(i, j), k] + y[(j, i), k] - 1 \
                    <= pulp.lpSum([y[(u, v), k] for u in graph[i] for v in graph[j]])

for k in range(k):
    prob += pulp.lpSum([y[(i, j), k] for (i, j) in edges]) >= k

# 求解模型
prob.solve()

# 输出结果
for k in range(k):
    print('Connected Component', k + 1, ':')
    for (i, j) in edges:
        if y[(i, j), k].value() == 1:
            print('(', i, ',', j, ')')

其中，`edges` 表示边的集合，`nodes` 表示点的集合，`graph` 表示图的邻接表，`w` 表示边的权重。这里使用了 PuLP 库的线性规划求解器来求解模型，并输出每个连通块中被选择的边。