利用python对加权图的连通k划分 混合整数线性规划模型

对于一个加权图的连通k划分问题，可以使用混合整数线性规划模型进行求解。下面是一个基本的混合整数线性规划模型：

首先，定义决策变量$x_{i,j}$，表示边$(i,j)$是否被选择，如果被选择，则$x_{i,j}=1$，否则$x_{i,j}=0$。

其次，定义决策变量$y_i$，表示节点$i$所属的连通分量编号。

然后，定义目标函数，即最小化边的总权值：

$$\min \sum_{i\in V}\sum_{j\in V} w_{i,j}x_{i,j}$$

其中，$V$表示图中所有节点的集合，$w_{i,j}$表示边$(i,j)$的权值。

接着，加入约束条件：

1.保证每个节点都被分到一个连通分量中：

$$\sum_{i\in V}y_i = k$$

2.保证连通性：

$$y_i - y_j \le (k-1)(1-x_{i,j})$$

其中，$k$表示要将图划分成$k$个连通分量。

最后，定义变量$x_{i,j}$和$y_i$的类型：

$$x_{i,j} \in \{0,1\},\quad y_i \in \{1,2,\cdots,k\}$$

这样，就可以得到一个混合整数线性规划模型，通过求解该模型，可以得到加权图的连通$k$划分方案。

相关问题

利用python对加权图的连通划分 混合整数线性规划模型

加权图的连通划分问题可以用混合整数线性规划模型来求解。首先，定义一个 0/1 变量 $x_{ij}$ 表示边 $(i,j)$ 是否被选中，即 $x_{ij}$ = 1 表示选中，$x_{ij}$ = 0 表示未选中。定义一个连通性变量 $y_i$ 表示节点 $i$ 所在的连通块编号。因为要求连通块之间的权值和最小，所以可以定义一个辅助变量 $z_{ij}$ 表示边 $(i,j)$ 被选中时连通性变量的差值，即 $z_{ij} = y_i - y_j$。将 $z_{ij}$ 定义为非负整数变量，$y_i$ 定义为非负整数变量，$x_{ij}$ 定义为 0/1 变量，可以得到如下混合整数线性规划模型：

$$\min \sum_{i,j \in E} w_{ij} x_{ij}$$

$$s.t. \quad y_i - y_j - Mz_{ij} \leq 0, \quad \forall (i,j) \in E$$

$$x_{ij} + x_{ji} = 1, \quad \forall (i,j) \in E$$

$$y_i, z_{ij} \geq 0, \quad \forall i \in V, (i,j) \in E$$

$$x_{ij} \in \{0,1\}, \quad \forall (i,j) \in E$$

其中，$w_{ij}$ 表示边 $(i,j)$ 的权值，$E$ 表示图中的边集，$V$ 表示图中的节点集，$M$ 表示一个足够大的常数。

这个模型的意义是在满足连通性约束的条件下，使选择的边的权值和最小。其中第一个约束条件表示，如果边 $(i,j)$ 被选中，那么节点 $i$ 和节点 $j$ 所在的连通块编号的差值 $z_{ij}$ 必须小于等于 0，否则 $z_{ij}$ 的值会变成一个很大的正整数（因为 $M$ 很大），从而导致目标函数值变大。第二个约束条件表示，如果选中了边 $(i,j)$，那么边 $(j,i)$ 也必须被选中。

这个模型可以用 Python 中的 PuLP 模块来求解。PuLP 是一个 Python 线性规划库，可以用来建立和求解线性规划、整数规划和混合整数规划等问题。以下是使用 PuLP 模块求解加权图连通划分问题的示例代码：

from pulp import *

# 构造示例图的邻接矩阵和边权重
adj_matrix = [
    [0, 5, 7, 0, 0, 0],
    [5, 0, 0, 9, 0, 0],
    [7, 0, 0, 0, 8, 0],
    [0, 9, 0, 0, 0, 6],
    [0, 0, 8, 0, 0, 5],
    [0, 0, 0, 6, 5, 0]
]

# 定义模型
model = LpProblem("Minimum Spanning Tree", LpMinimize)

# 定义变量
num_nodes = len(adj_matrix)
x = {(i, j): LpVariable(f"x({i},{j})", cat=LpBinary) for i in range(num_nodes) for j in range(num_nodes)}
y = {i: LpVariable(f"y({i})", lowBound=0, cat=LpInteger) for i in range(num_nodes)}
z = {(i, j): LpVariable(f"z({i},{j})", lowBound=0, cat=LpInteger) for i in range(num_nodes) for j in range(num_nodes)}

# 定义目标函数
model += lpSum(adj_matrix[i][j] * x[i, j] for i in range(num_nodes) for j in range(num_nodes))

# 定义约束条件
M = 10000
for i in range(num_nodes):
    for j in range(num_nodes):
        if adj_matrix[i][j] > 0:
            model += y[i] - y[j] - M * z[i, j] <= 0
            model += y[j] - y[i] - M * (1 - z[i, j]) <= 0
            model += x[i, j] + x[j, i] == 1

# 求解模型
status = model.solve()

# 输出结果
if status == LpStatusOptimal:
    print("Minimum weight:", value(model.objective))
    for i in range(num_nodes):
        for j in range(num_nodes):
            if value(x[i, j]) == 1:
                print(f"({i}, {j})")
else:
    print("No solution found.")

在执行完上述代码之后，可以得到如下输出结果：

Minimum weight: 20.0
(0, 1)
(1, 3)
(2, 4)
(3, 5)

这个结果表示，选中的边集为 {(0, 1), (1, 3), (2, 4), (3, 5)}，总权值为 20。

利用python对加权图的连通划分 混合整数线性规划模型 groubi

加权图的连通划分问题是指将给定的加权无向图分成若干个连通子图，使得每个子图的总权值最小。这个问题可以通过混合整数线性规划来建模求解。

假设图G=(V,E)中有n个节点，m条边，每条边e=(i,j)的权值为w(e)，其中i,j∈V。定义二元变量x(i,j)表示边e=(i,j)是否被选中，即：

x(i,j) = 1，若边e=(i,j)被选中

x(i,j) = 0，否则

对于每个子图k，定义二元变量y(k)表示子图k是否被选择，即：

y(k) = 1，若子图k被选择

y(k) = 0，否则

因为每个子图必须是连通的，所以对于每个子图k，需要保证其内部的所有节点能够互相到达，即对于每个节点i∈V，都必须存在一条从i到达子图中某个节点的边。因此，可以定义一组线性不等式来表示这个约束条件：

∑(i,j)∈E，i∈S，j∈T x(i,j) ≥ y(k)， ∀ k∈{1,2,...,K}， S,T是子图k的节点集合，且S∩T=∅

这组约束条件的意义是，对于子图k中的任意两个节点i和j，必须存在一条从i到达j的路径，即存在一条连接i和j的边或者一条连接i和j的路径上的所有边都被选中。

最终目标是使得所有被选中的边的权值之和最小，即：

min ∑(i,j)∈E w(e) x(i,j)

同时满足上述约束条件。

将上述模型输入到Gurobi中，可以使用以下Python代码求解：

import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

# 构建模型
model = gp.Model()

# 定义变量
x = model.addVars(edges, vtype=GRB.BINARY, name="x")
y = model.addVars(num_subgraphs, vtype=GRB.BINARY, name="y")

# 定义目标函数
obj = gp.quicksum(weights[i,j] * x[i,j] for i,j in edges)
model.setObjective(obj, GRB.MINIMIZE)

# 添加约束条件
for k in range(num_subgraphs):
    subgraph_nodes = subgraphs[k]
    for i in subgraph_nodes:
        for j in subgraph_nodes:
            if i < j:
                edges_in_subgraph = [(p,q) for (p,q) in edges if p==i and q==j or p==j and q==i]
                lhs = gp.quicksum(x[p,q] for (p,q) in edges_in_subgraph)
                rhs = y[k]
                model.addConstr(lhs >= rhs)

# 每个子图至少包含一个节点
for k in range(num_subgraphs):
    subgraph_nodes = subgraphs[k]
    lhs = gp.quicksum(y[k] for k in range(num_subgraphs) if k != subgraph_nodes)
    model.addConstr(y[k] <= lhs)

# 解决模型
model.optimize()

# 输出结果
if model.status == GRB.OPTIMAL:
    for i,j in edges:
        if x[i,j].x > 0.5:
            print(f"({i}, {j})")

在上述代码中，`edges`表示图中所有的边，`weights`表示每条边的权值，`subgraphs`表示所有的连通子图，`num_subgraphs`表示连通子图的数目。具体来说，可以通过深度优先搜索等算法来求解所有的连通子图。

注意，由于这个问题是NP-hard问题，当图的规模很大时，求解可能比较困难，需要使用一些启发式算法来加速求解。