python顶点加权图的k连通划分 混合整数线性规划模型 python groubi示例

顶点加权图的k连通划分问题是一个经典的组合优化问题，它的目标是将一个带权无向图划分成k个连通子图，并最小化划分后的连通子图权值之和。这个问题可以用混合整数线性规划（MILP）模型来描述。下面是一个Python Gurobi示例代码，用于解决这个问题：

from gurobipy import *

def k_conn_partition(G, k):
    """Solve the k-connected partition problem for graph G"""
    n = len(G.nodes())
    m = len(G.edges())

    # Create a new model
    model = Model("k-connected partition")

    # Create variables
    x = {}
    y = {}
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            x[i,j] = model.addVar(vtype=GRB.BINARY, name="x%d,%d" % (i,j))
        y[i] = model.addVar(vtype=GRB.BINARY, name="y%d" % i)

    # Set objective
    obj = quicksum(x[i,j]*G[i][j]['weight'] for i in range(n) for j in range(n))
    model.setObjective(obj, GRB.MINIMIZE)

    # Add constraints
    for i in range(n):
        model.addConstr(quicksum(x[i,j] for j in range(n)) == y[i])
        model.addConstr(quicksum(x[j,i] for j in range(n)) == y[i])
    model.addConstr(quicksum(y[i] for i in range(n)) == k)

    # Add k-connectivity constraints
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i != j:
                model.addConstr(x[i,j] + x[j,i] <= y[i])

    # Optimize model
    model.optimize()

    # Print solution
    if model.status == GRB.OPTIMAL:
        print('Objective value: %g' % model.objVal)
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if x[i,j].x > 0:
                    print('x%d,%d = %g' % (i, j, x[i,j].x))
        for i in range(n):
            if y[i].x > 0:
                print('y%d = %g' % (i, y[i].x))
    else:
        print('No solution found')

在上面的代码中，我们首先定义了一个函数`k_conn_partition`，它接受一个带权无向图`G`和一个整数`k`作为输入，然后使用Gurobi求解这个问题。具体来说，我们使用了二进制变量`x[i,j]`来表示是否将边`(i,j)`包含在同一个连通子图中，使用二进制变量`y[i]`来表示是否选择顶点`i`作为一个连通子图的代表点。然后，我们定义了目标函数为所有被选择的边的权值之和，约束条件包括：每个顶点只能属于一个连通子图，每个连通子图必须由恰好一个代表点代表，每个连通子图必须是k连通的。最后，我们使用`model.optimize()`方法求解模型，并输出结果。

注意，由于该问题是NP-hard问题，所以对于大型图，上述代码可能需要很长时间才能运行。