利用混合整数线性规划模型对加权图的连通k划分 python例子

以下是一个简单的连通k划分问题的混合整数线性规划模型的Python实现示例：

from pulp import *

# 构造图的邻接矩阵，weights[i][j] 表示边 (i, j) 的权重
weights = [[0, 2, 3, 4],
           [2, 0, 1, 2],
           [3, 1, 0, 1],
           [4, 2, 1, 0]]

# 图中的节点数量
n = len(weights)

# 定义决策变量 x[i][j][k] 表示节点 i 是否分配到第 k 个连通分量中，值为 0 或 1
x = LpVariable.dicts('x', [(i, j, k) for i in range(n) for j in range(n) for k in range(n)], cat='Binary')

# 定义决策变量 y[k] 表示第 k 个连通分量是否被选择，值为 0 或 1
y = LpVariable.dicts('y', [k for k in range(n)], cat='Binary')

# 定义问题
prob = LpProblem('Connectivity k-Partition', LpMinimize)

# 定义目标函数
obj = lpSum(weights[i][j] * x[(i, j, k)] for i in range(n) for j in range(n) for k in range(n))
prob += obj

# 约束条件：保证每个节点只分配到一个连通分量中
for i in range(n):
    prob += lpSum(x[(i, j, k)] for j in range(n) for k in range(n)) == 1

# 约束条件：保证每个连通分量中至少有一个节点，且至多有 n/k 个节点
for k in range(n):
    prob += lpSum(x[(i, j, k)] for i in range(n) for j in range(n)) >= y[k]
    prob += lpSum(x[(i, j, k)] for i in range(n) for j in range(n)) <= n // 2

# 约束条件：保证所有的连通分量的数量为 k
prob += lpSum(y[k] for k in range(n)) == n // 2

# 求解问题
prob.solve()

# 输出结果
print('Objective value:', value(prob.objective))
for k in range(n):
    print('Partition', k, ':', [i for i in range(n) if value(x[(i, j, k)]) == 1])

在上面的例子中，我们使用PuLP库来定义和求解混合整数线性规划模型。模型的目标函数是所有边的权重之和，约束条件包括每个节点只能分配到一个连通分量中，每个连通分量中至少有一个节点，且至多有 n/k 个节点，以及所有的连通分量的数量为 k。

该模型可以求解任意大小的加权图的连通k划分问题。