python顶点加权图的k连通划分 混合整数线性规划模型 示例

下面是一个混合整数线性规划模型的示例，用于解决python顶点加权图的k连通划分问题：

假设我们有一个顶点加权图G=(V,E)，其中V是节点集合，E是边集合。我们希望将这个图划分为k个连通子图，使得每个子图的权重之和最小。

设x(v,i)为节点v属于第i个子图的指示变量，y(u,v,i)为边(u,v)是否属于第i个子图的指示变量。则我们的模型可以表示为：

目标函数：

min sum(w(v)*x(v,i) for v in V, i in 1..k)

约束条件：

1. 每个节点只能属于一个子图：

sum(x(v,i) for i in 1..k) = 1, for v in V

2. 每个子图都必须是连通的：

sum(y(u,v,i) for u,v in E, u!=v) >= x(v,i), for v in V, i in 1..k

3. 每个子图都必须包含至少一个节点：

sum(x(v,i) for v in V) >= 1, for i in 1..k

4. 对于任意的边(u,v)，如果它属于第i个子图，则它连接的两个节点必须都属于第i个子图：

y(u,v,i) <= x(u,i), for u,v in E, i in 1..k
y(u,v,i) <= x(v,i), for u,v in E, i in 1..k

5. 对于任意的边(u,v)，如果它不属于第i个子图，则它连接的两个节点必须至少有一个节点属于第i个子图：

y(u,v,i) + x(u,i) + x(v,i) >= 1, for u,v in E, i in 1..k

其中，w(v)表示节点v的权重，sum表示求和符号。

这个模型中，约束条件2、4和5保证了每个子图都是连通的，约束条件3保证了每个子图都包含至少一个节点，约束条件1保证了每个节点只属于一个子图。目标函数则是最小化每个子图的权重之和。

我们可以使用Python的PuLP库来实现这个模型：