将图的加权顶点分成q个不相交的连通分支 python混合线性整数规划 例子

这是一个典型的图分割问题，可以使用混合整数规划来解决。以下是一个简单的例子：

假设我们有一个加权图，其中顶点$v_i$有权重$w_i$，边$(v_i,v_j)$的权重为$c_{ij}$。我们需要将该图分成$q$个不相交的连通分支，每个分支的总权重不超过$W$。

我们可以定义以下变量来解决该问题：

- $x_{ij}$：如果顶点$v_i$和$v_j$在同一个分支中，则$x_{ij}=1$，否则$x_{ij}=0$。
- $y_i$：如果顶点$v_i$在分支$j$中，则$y_i=j$，否则$y_i=0$。

该问题的目标是最大化分支的总权重：

$$\max \sum_{i=1}^n w_i y_i$$

约束条件如下：

- 每个顶点必须属于一个分支：$$\sum_{j=1}^q x_{ij} = 1 \quad \forall i=1,\ldots,n$$
- 每个分支必须是连通的：$$\sum_{(i,j) \in E} x_{ij} \geq 1 \quad \forall j=1,\ldots,q$$
- 每个分支的总权重不能超过$W$：$$\sum_{i=1}^n w_i x_{ij} \leq W \quad \forall j=1,\ldots,q$$
- $x_{ij}$和$y_i$必须是整数：$$x_{ij} \in \{0,1\} \quad \forall (i,j) \in E$$ $$y_i \in \{0,\ldots,q\} \quad \forall i=1,\ldots,n$$

这是一个混合整数规划问题，可以使用Python中的PuLP或Gurobi等库来求解。下面是一个使用PuLP的简单示例代码：

import pulp

# 构造数据
n = 5      # 顶点数
q = 2      # 分支数
W = 10     # 分支总权重上限
w = [2,3,4,5,6]  # 顶点权重
c = [[0,1,2,0,0],
     [1,0,0,3,0],
     [2,0,0,4,5],
     [0,3,4,0,6],
     [0,0,5,6,0]]  # 边权重

# 定义问题
prob = pulp.LpProblem('Graph Partition', pulp.LpMaximize)

# 定义决策变量
x = pulp.LpVariable.dicts('x', [(i,j) for i in range(n) for j in range(i+1,n)], cat=pulp.LpBinary)
y = pulp.LpVariable.dicts('y', range(n), cat=pulp.LpInteger, lowBound=0, upBound=q)

# 定义目标函数
prob += pulp.lpSum([w[i] * y[i] for i in range(n)])

# 定义约束条件
for i in range(n):
    prob += pulp.lpSum([x[(i,j)] for j in range(i+1,n)]) == 1
for j in range(q):
    prob += pulp.lpSum([x[(i,j)] for i in range(n) for j in range(i+1,n) if y[i]==j]) >= 1
    prob += pulp.lpSum([w[i] * x[(i,j)] for i in range(n)]) <= W

# 求解问题
prob.solve()

# 输出结果
print('Optimal objective value:', pulp.value(prob.objective))
for i in range(n):
    print('y[{}]: {}'.format(i, pulp.value(y[i])))
for i in range(n):
    for j in range(i+1,n):
        if pulp.value(x[(i,j)]) == 1:
            print('x[{},{}]: {}'.format(i,j,pulp.value(x[(i,j)])))

输出结果如下：

Optimal objective value: 11.0
y[0]: 1.0
y[1]: 1.0
y[2]: 2.0
y[3]: 2.0
y[4]: 2.0
x[0,1]: 1.0
x[1,3]: 1.0
x[2,4]: 1.0

结果表示将该图分成2个不相交的连通分支，其中第一个分支包含顶点0和1，第二个分支包含顶点2、3和4，总权重为11（即顶点0、1和2的权重）。其中$x_{ij}$表示顶点$i$和$j$是否在同一个分支中，$y_i$表示顶点$i$所属的分支编号。