求周期矩形脉冲的 Fourier级数表示式。并用 MATLAB 求出由前 N项 Fourier级数 系数得出的信号近似波形。

周期为 $T$ 的矩形脉冲信号可以表示为：

$$
f(t)=\begin{cases}
A, & 0\leq t\leq \frac{T}{2}\\
0, & \frac{T}{2}<t\leq T
\end{cases}
$$

其中 $A$ 是常数。该信号的周期为 $T$，因此可以将其表示为傅里叶级数的形式：

$$
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(\frac{2\pi n}{T}t)+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(\frac{2\pi n}{T}t)
$$

其中系数 $a_0$，$a_n$ 和 $b_n$ 分别为：

$$
a_0=\frac{2A}{T},\quad a_n=\frac{4A}{n\pi}\sin(\frac{n\pi}{2}),\quad b_n=0,\quad n=1,2,3,\cdots
$$

根据上述公式，可以使用MATLAB求出前 $N$ 项傅里叶级数的系数，并绘制出由该级数近似得到的信号波形。具体代码如下：

% 设置参数
T = 2*pi; % 周期
A = 1; % 幅值
N = 50; % 傅里叶级数项数

% 计算系数
a0 = 2*A/T;
an = zeros(1, N);
bn = zeros(1, N);
for n = 1:N
    an(n) = (4*A/(n*pi))*sin(n*pi/2);
end

% 计算信号近似波形
t = linspace(0, T, 1000);
f = a0/2 + zeros(size(t));
for n = 1:N
    f = f + an(n)*cos(2*pi*n/T*t);
end

% 绘图
plot(t, f, 'LineWidth', 2);
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
title(sprintf('Approximation of Rectangular Pulse Signal with %d Fourier Series Terms', N));

该代码将绘制出由前 $N$ 项傅里叶级数系数得出的信号近似波形。