、求周期矩形脉冲的 Fourier 级数表示式。并用 MATLAB 求出由前 N 项 Fourier 级数 系数得出的信号近似波形。 2 t 2 t − − T A t T

周期矩形脉冲的 Fourier 级数表示式为：

$$f(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2n\pi t/T)}{2n-1}$$

其中，$T$ 为周期，$A$ 为脉冲幅值。

在 MATLAB 中，可以使用以下代码计算前 $N$ 项 Fourier 级数系数，并绘制出信号的近似波形：

% 周期矩形脉冲信号的 Fourier 级数表示式
T = 2; % 周期
A = 1; % 脉冲幅值
syms t n;
f(t) = (4*A/pi)*symsum(sin(2*n*pi*t/T)/(2*n-1), n, 1, Inf);

% 计算前 N 项 Fourier 级数系数
N = 50;
a0 = simplify(int(f(t), t, 0, T)/T);
an = simplify(int(f(t)*cos(2*n*pi*t/T), t, 0, T)/T);
bn = simplify(int(f(t)*sin(2*n*pi*t/T), t, 0, T)/T);

% 绘制近似波形
t = linspace(0, 2*T, 1000); % 时间范围
approx = a0/2;
for i=1:N
    approx = approx + an*cos(2*i*pi*t/T) + bn*sin(2*i*pi*t/T);
end
plot(t, approx);

这段代码先定义了周期矩形脉冲信号的 Fourier 级数表示式，然后使用 MATLAB 的符号计算功能计算前 $N$ 项 Fourier 级数系数。最后，使用 linspace 函数生成时间范围，并通过循环计算前 $N$ 项 Fourier 级数的加和，绘制出信号的近似波形。