怎么用Riemann-Siegel公式计算黎曼ζ函数的非平凡零点？

Riemann-Siegel公式是计算黎曼ζ函数非平凡零点的一种方法。下面是计算步骤：

1. 定义符号函数

$$
\operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { if } x>0} \\ {-1} & {\text { if } x<0} \\ {0} & {\text { if } x=0}\end{array}\right.
$$

2. 计算黎曼ζ函数的辅助函数

$$
\theta(t)=\operatorname{arg}\left(\Gamma\left(\frac{1}{4}+\frac{it}{2}\right)\right)-\frac{1}{2} \operatorname{arg}(\pi), \quad t>0
$$

其中 $\operatorname{arg}$ 表示幅角，$\Gamma$ 表示伽马函数。

3. 计算黎曼ζ函数的非平凡零点

对于第 $n$ 个非平凡零点 $\rho_n$，有如下公式：

$$
\rho_{n}=\frac{1}{2\pi i}\ln\left(\frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}+\frac{i\rho_{n}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{4}-\frac{i\rho_{n}}{2}\right)}\right)
$$

其中 $\ln$ 表示自然对数。由于 $\Gamma$ 函数的特殊性质，可以用 Riemann-Siegel 公式来计算 $\rho_n$：

$$
\rho_{n}=\frac{t_{n}}{2\pi}+\frac{\theta(t_n)}{2\pi i}+\mathcal{O}\left(t_{n}^{-1}\right)
$$

其中 $t_n$ 是一个初值，可以通过下面的公式递推计算：

$$
t_{n+1}=t_{n}+2\pi\left(\frac{n}{\log t_{n}}-\frac{1}{2}\right)
$$

需要注意的是，由于 Riemann-Siegel 公式的误差项较大，计算出来的 $\rho_n$ 只是一个近似值，需要通过其他方法进行验证。