数学建模大赛赛题解析-1998年A题《资产投资收益与风险》模型二的求解与分析

模型二的题目要求我们选择一个最佳的投资组合，使得其预期收益达到一定的目标，且同时还要满足预算限制和风险要求。

首先，我们需要确定投资组合中每个项目的收益率和风险，这可以通过历史数据来估计。我们可以将每个项目的收益率和风险表示为一个均值和方差。设第i个项目的年化收益率和年化风险分别为Ri和Si，那么我们可以计算出投资组合的年化收益率和年化风险：

$$
R_p = \sum_{i=1}^n w_i R_i
$$

$$
S_p^2 = \sum_{i=1}^n w_i^2 S_i^2 + 2\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n w_i w_j S_i S_j\rho_{ij}
$$

其中，$w_i$表示第i个项目在投资组合中所占的权重，$\rho_{ij}$表示第i个项目和第j个项目的相关系数。

接着，我们需要确定如何选择权重来使得投资组合的预期收益达到目标，且同时还要满足预算限制和风险要求。这可以通过线性规划来解决：

$$
\text{maximize }\ \ R_p
$$

$$
\text{subject to}\ \ \sum_{i=1}^n w_i = 1
$$

$$
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{i=1}^n w_i S_i \leq S_t
$$

$$
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{i=1}^n p_i w_i \leq B
$$

其中，$S_t$表示投资组合的最大风险，$B$表示投资组合的预算限制，$p_i$表示第i个项目的价格。

以上模型就可以求解出最佳的投资组合权重，从而得知每个项目在投资组合中所占的比例。最终的预期收益就是每个项目的年化收益率乘以其在投资组合中所占的比例之和。