多元函数求极值中对其中一个变量求一阶导时为常数，怎么求极值

如果对多元函数中的一个变量求一阶导数后得到一个常数，那么我们可以将该常数看作是另外的函数关于该变量的导数，即可以将原函数中含有该变量的部分看作是一个一元函数，然后对这个一元函数求极值。

具体来说，设多元函数 $f(x,y)$ 中的一个变量为 $x$，且 $\dfrac{\partial f}{\partial x}=k$，其中 $k$ 是一个常数。则可以将 $f(x,y)$ 中的含有 $x$ 的部分视为一个以 $x$ 为自变量的一元函数 $g(x)=f(x,y)$，此时我们只需要对 $g(x)$ 求极值即可。

求 $g(x)$ 的极值时，可以先求出 $g(x)$ 的一阶导数 $g'(x)$，然后令 $g'(x)=0$ 求出 $x$ 的值，再将 $x$ 带入 $g(x)$ 中得出极值。

需要注意的是，如果 $g'(x)$ 在 $x$ 的某个邻域内恒为正（或者恒为负），则 $x$ 取该邻域边界上的值时可能会得到更优的极值。因此，需要将 $g(x)$ 的定义域加上边界点，并比较边界点处的函数值与内部极值的大小，最终得出整个多元函数的极值。

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多元函数求极值中对其中一个变量求一阶导时为常数，怎么办

### 回答1：
如果多元函数 $f(x,y)$ 对其中一个变量 $x$ 求一阶导数得到常数 $c$，即 $\frac{\partial f}{\partial x}=c$，则可以根据常数 $c$ 求出 $x$ 的表达式，如 $x=g(y)$。将 $x$ 用 $y$ 表示后，将其代入 $f(x,y)$ 中得到一个仅含有 $y$ 的函数 $f(y)$，然后对 $f(y)$ 求导，即 $\frac{d f}{d y}$，找到其临界点即可。

具体来说，如果有 $\frac{\partial f}{\partial x}=c$，则 $f(x,y)$ 在 $x=g(y)$ 处取得极值，其中 $g(y)$ 可以通过以下步骤求出：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=c \Longrightarrow dx = \frac{1}{c}dy \Longrightarrow x = \frac{1}{c}y + k$$

其中 $k$ 是常数。将 $x=\frac{1}{c}y+k$ 代入 $f(x,y)$ 中得到 $f(y)=f(\frac{1}{c}y+k,y)$，然后对 $f(y)$ 求导，即 $\frac{d f}{d y}$，找到其临界点即可。

### 回答2：
当多元函数对其中一个变量求一阶导数时为常数时，我们可以通过以下步骤求极值：

1. 确定该变量的取值范围。
- 我们需要确定该变量的定义域，即使它是一个无限取值的变量，也需要确定其取值范围的上限和下限。

2. 求解该变量的导数为常数的方程。
- 将多元函数对该变量求一阶导数，然后令导数为常数，得到一个方程。
- 解这个方程，可以得到该变量的值。

3. 将该变量的值代入原函数中。
- 将求得的该变量的值代入原多元函数中，得到一个仅含有其他变量的函数。

4. 对仅含有其他变量的函数进行求导。
- 对仅含有其他变量的函数对其他变量分别求一阶导数。

5. 解求导后的方程组。
- 根据实际问题，可以得到一个或多个方程，解这些方程可以得到其他变量的取值。

6. 将所有变量的取值代入原函数中。
- 将求得的所有变量的取值代入原多元函数中，得到函数的取值。

7. 比较函数的取值。
- 将得到的函数的取值与其他可能的函数的取值进行比较，找出最大值或最小值。

需要注意的是，这个方法仅适用于输出连续函数的极值，对于离散函数求解最大值或最小值的问题需要采用其他方法。

### 回答3：
当多元函数对其中一个变量求一阶导时为常数时，可以采取以下步骤求极值：

1. 首先，求出函数对该变量的一阶导数。由题意可知，一阶导数为常数，不再是一个关于变量的函数，而是一个常数。

2. 接下来，将常数视作关于另一个自变量的常函数。例如，设常数为c，将其视作关于另一个自变量x的常函数f(x) = c。

3. 然后，求出f(x)的极值。对于常函数而言，它没有极值点，因为它是一个平行于x轴的水平线。而该常数则为f(x)的导数。

4. 最后，根据求导的结果和已知条件，可以得出原多元函数在该变量方向上的函数形式。这个函数形式可能是一个线性函数，具体形式取决于常数的值。

需要注意的是，在求解多元函数的极值过程中，还需要考虑其他自变量的取值范围和约束条件，以确保所求得的极值是满足条件的。

多元函数求极值中对其中一个变量求一阶导时为常数，怎么求该函数的极值

### 回答1：
设多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 中 $x_1$ 的一阶偏导数为常数 $c$，即 $\frac{\partial f}{\partial x_1}=c$。

则可将 $f$ 视为一个关于 $x_1$ 的一元函数 $f(x_1)$，对其求导并令导数为 $0$，即 $\frac{df}{dx_1}=c$，解得 $f(x_1)=cx_1+d$，其中 $d$ 为常数。

将 $f(x_1)=cx_1+d$ 代入多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，得到一个关于 $x_2,\cdots,x_n$ 的函数 $g(x_2,\cdots,x_n)=cx_1+d$。

接下来，对 $g$ 求取所有变量的偏导数，并令其为 $0$，解得 $x_2,x_3,\cdots,x_n$ 的值。将这些值代入 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 中，即可求出函数 $f$ 的极值。

需要注意的是，如果在求解 $g$ 的偏导数时，发现其中某个变量的偏导数也为常数，那么需要将其依次代入 $g$ 中，得到一个更简单的关于其他变量的函数，再进行求导求解极值的步骤。

### 回答2：
如果一个多元函数对其中一个变量求一阶导数得到一个常数，那么可以通过对该变量进行替换，转而将问题转化为求解一个关于其他变量的函数的极值。

具体地，设函数为f(x,y)。如果对变量x求一阶导数得到一个常数c，即∂f(x,y)/∂x = c，则可以将c代入到f(x,y)中，得到一个关于y的函数g(y) = f(c, y)。此时，问题转化为求解g(y)的极值。

对g(y)进行求导，即计算dg(y)/dy，可以得到g(y)的极值点。然后将这些极值点代回到原函数 f(x,y) 中，得到对应的x值和其它变量的取值，即可得到原函数的极值点。

总结来说，当一个多元函数的对其中一个变量求一阶导数得到一个常数时，可以通过将该常数代入到原函数得到的函数中，求解新函数的极值点，并将极值点的取值代回到原函数中，可以得到原函数的极值点。

需要注意的是，这种方法仅在对其中一个变量求一阶导数得到的常数不依赖于其他变量的情况下适用。如果常数与其他变量有关，则需要综合运用多元函数求极值的其他方法。

### 回答3：
当多元函数中的一个变量的一阶导数为常数时，可以使用极值的必要条件和求导的方法来求该函数的极值。

首先，根据多元函数的极值的必要条件，我们可以得出以下结果：
1. 极值点是函数的驻点，即函数在该点的梯度为零。
2. 极大值点通常对应着导数从正数变为负数，而极小值点通常对应着导数从负数变为正数。

其次，我们可以使用求导的方法来具体求解：
1. 对于多元函数，假设要求取的变量是x，而其他变量为常数。我们将多元函数对x求偏导，得到一阶导数关于x的表达式。
2. 然后，我们令导数为常数，并解得该常数的值。
3. 进一步，将该常数代入原函数中，消去x变量。我们得到一个仅含有其他常数和其他变量的函数。
4. 最后，对于这个新得到的函数，我们可以利用常规的求极值的方法来求取其极值，例如，求导判断导数的符号等。

需要注意的是，在求解时要注意函数的定义域，并对某些可能的边界条件进行讨论。同时，对于多元函数的求极值问题，可能存在多个极值点，需要进行全面的分析和比较，确定最值点。

综上所述，当一个多元函数中的某个变量的一阶导数为常数，我们可以通过求导的方法，分析导数的符号和求取导数为零的极值点，来求解该函数的极值。