梯度下降算法在波士顿房价预测中的应用推导

在波士顿房价预测任务中，我们需要根据房屋的各种特征（如房屋的位置、房龄、房间数量等）来预测房屋的价格。为了实现这个任务，我们可以使用线性回归模型。线性回归模型的公式为：

$$
y = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + ... + \theta_n x_n
$$

其中，$y$ 是房价，$x_1$、$x_2$、...、$x_n$ 是房屋的各种特征，$\theta_0$、$\theta_1$、$\theta_2$、...、$\theta_n$ 是模型的参数。

我们的目标是通过训练数据来得到最优的参数 $\theta_0$、$\theta_1$、$\theta_2$、...、$\theta_n$，使得模型能够最准确地预测房价。为了实现这个目标，我们可以使用梯度下降算法。

梯度下降算法的基本思想是通过不断地调整参数来最小化损失函数。在线性回归模型中，我们可以使用均方误差（Mean Squared Error，MSE）作为损失函数，其公式为：

$$
J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})^2
$$

其中，$m$ 是训练样本数量，$h_{\theta}(x^{(i)})$ 是模型对第 $i$ 个样本的预测值，$y^{(i)}$ 是第 $i$ 个样本的真实值。

梯度下降算法的具体步骤如下：

1. 初始化参数 $\theta_0$、$\theta_1$、$\theta_2$、...、$\theta_n$。

2. 在每一轮迭代中，计算模型对所有样本的预测值和真实值之间的误差，即 $h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)}$，并根据误差和样本特征 $x^{(i)}$ 来更新每个参数 $\theta_j$，即：

$$
\theta_j = \theta_j - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)}) x_j^{(i)}
$$

其中，$\alpha$ 是学习率，控制每次迭代时参数的更新步长。

3. 不断重复第二步，直到损失函数 $J(\theta)$ 收敛或达到最大迭代次数。

在波士顿房价预测任务中，我们可以使用梯度下降算法来得到最优的参数 $\theta_0$、$\theta_1$、$\theta_2$、...、$\theta_n$，从而得到能够最准确预测房价的线性回归模型。