一个人想要游览六个景点,要求随机选择起点并游览完所有景点后再次返回起点,求符合要求的最短路径,给出相应数学思路以及java代码
时间: 2024-03-23 13:41:57 浏览: 41
这是一个旅行商问题,可以使用著名的动态规划算法—— Held-Karp 算法来解决。
具体步骤如下:
1. 构建邻接矩阵表示各景点之间的距离,用一个二维数组 `dist[][]` 存储,其中 `dist[i][j]` 表示景点 i 到景点 j 的距离。
2. 定义一个二进制数 `S`,表示当前已经游览的景点集合,其中第 `i` 位为 1 表示已经游览了第 `i` 个景点。
3. 定义一个二维数组 `dp[][]`,其中 `dp[S][i]` 表示已经游览了集合 `S` 中的景点,最后停留在景点 `i` 的最短路径长度。
4. 初始状态为 `dp[1<<n][0] = 0`,即起点为 0,已经游览了所有景点的最短路径长度为 0。
5. 状态转移方程为:`dp[S][i] = min(dp[S^(1<<i)][j] + dist[j][i])`,其中 `S^(1<<i)` 表示将 `S` 中第 `i` 位取反,即从 `S` 中去掉景点 `i`,`j` 是 `S^(1<<i)` 中的一个景点,表示从 `j` 到 `i` 的路径长度。
6. 最终答案为 `dp[(1<<n)-1][0]`,即已经游览了所有景点,最后回到起点的最短路径长度。
Java 代码如下:
```
public int shortestPath(int[][] dist) {
int n = dist.length;
int[][] dp = new int[1<<n][n];
for (int S = 1; S < (1<<n); S++) {
Arrays.fill(dp[S], Integer.MAX_VALUE);
if (Integer.bitCount(S) == 1) {
dp[S][Integer.numberOfTrailingZeros(S)] = 0;
} else {
for (int i = 0; i < n; i++) {
if ((S & (1<<i)) != 0) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (i != j && (S & (1<<j)) != 0) {
dp[S][i] = Math.min(dp[S][i], dp[S^(1<<i)][j] + dist[j][i]);
}
}
}
}
}
}
return dp[(1<<n)-1][0];
}
```
其中 `Integer.bitCount(S)` 表示二进制数 `S` 中 1 的个数,`Integer.numberOfTrailingZeros(S)` 表示二进制数 `S` 末尾 0 的个数。