基于潜变量模型框架，推导出Multinomial Logit模型和Ordered Logit模型

Multinomial Logit模型和Ordered Logit模型都是基于潜变量模型框架的模型，用于建模多项选择和有序选择行为。在这个模型中，我们假设存在一个未知的潜在变量，它对被解释变量产生影响。潜在变量可以被理解为隐藏在现实背后的某种特定特征或因素，这个特征或因素可能不能直接被观察到。

- Multinomial Logit模型: 在多项选择模型中，我们考虑一个选择行为涉及多个选择项的情况。在这种模型中，我们引入一个潜变量z，它代表了个体的偏好、需求等非随机部分，而用来解释多元变量y的部分则是一个d维向量x。在这个潜变量模型中，我们需要建立一个概率模型，它将各个选择项之间的概率联系起来。具体地，我们假设每个个体i的概率选项j为

P(yij = 1|xi) = exp(xiβj) / Σ(exp(xiβk))

其中，βj是选择项j对应的参数，xi是与个体i相关的d维向量， Σ(exp(xiβk))是所有可选项的指数和，j ∈ {1,2,...J}，J 表示所有可选项的数量。这个模型能够推出每个个体选项的预测概率。

- Ordered Logit模型: 在有序选择模型中，我们考虑的是一个选择行为包括多个相互排斥的离散选择项的情况。为了应对这种情况，我们提出一种新的模型——有序Logit模型。在这个模型中，我们考虑了一个数量级，该数量级与个体选择的数量相同，称之为阈值的概念。我们将阈值表示为 {θ1,θ2,…θK−1}，K是可选择的数量。每个阈值代表着一个对应的选择项， 阈值k包容的选择项为 y={y1,y2,⋯yK−1}={0,1,1,1,⋯,1}，其中，yj=1表示选择项j。对于个体i来说，它选择每个项的概率分别为：

P(yik = 1|xi) = exp[λi(θj − xiβk)] / Σ(exp[λi(θj − xiβm)])

在这个公式中，λ表示一个值不确定的变量，用来衡量个体i选择每个阈值以下的选择项的热情程度，而θ和β均为已知的参数。