举例强化学习的几种典型算法写出公式及推到过程

强化学习是一种通过试错来学习如何最大化奖励的机器学习方法。以下是几种典型的强化学习算法及其公式及推导过程：

1. Q-learning：

Q-learning是一种基于值函数的强化学习算法，它通过不断更新值函数来学习最优策略。Q-learning的更新公式如下：

$Q(s_t, a_t) \leftarrow Q(s_t, a_t) + \alpha [r_{t+1} + \gamma \max_{a} Q(s_{t+1}, a) - Q(s_t, a_t)]$

其中，$Q(s_t, a_t)$表示在状态$s_t$下采取动作$a_t$所获得的价值，$\alpha$为学习率，$r_{t+1}$为采取动作$a_t$后获得的奖励，$\gamma$为折扣因子，$\max_{a} Q(s_{t+1}, a)$表示在状态$s_{t+1}$下采取所有可能的动作中所获得的最大价值。

2. SARSA：

SARSA也是一种基于值函数的强化学习算法，它与Q-learning不同的是，在更新值函数时，采取的动作是根据当前策略选择的，而不是根据最大价值选择的。SARSA的更新公式如下：

$Q(s_t, a_t) \leftarrow Q(s_t, a_t) + \alpha [r_{t+1} + \gamma Q(s_{t+1}, a_{t+1}) - Q(s_t, a_t)]$

其中，$a_{t+1}$表示在状态$s_{t+1}$下采取的动作，它是根据当前策略选择的。

3. Deep Q Network (DQN)：

DQN是一种使用神经网络来逼近值函数的强化学习算法，它可以处理高维、连续状态空间和动作空间的问题。DQN的更新公式如下：

$y_t = r_t + \gamma \max_{a'} Q_{\theta^{-}}(s_{t+1}, a')$

$L(\theta) = \mathbb{E}[(y_t - Q_{\theta}(s_t, a_t))^2]$

$\theta \leftarrow \theta - \alpha \nabla_{\theta} L(\theta)$

其中，$Q_{\theta}(s_t, a_t)$表示使用神经网络参数$\theta$来逼近值函数，$y_t$为目标值，$r_t$为采取动作$a_t$后所获得的奖励，$\gamma$为折扣因子，$\max_{a'} Q_{\theta^{-}}(s_{t+1}, a')$表示使用目标网络（固定一段时间更新一次）在状态$s_{t+1}$下采取所有可能的动作中所获得的最大价值。$L(\theta)$为损失函数，它衡量了预测值与目标值之间的差距。通过最小化损失函数来更新神经网络参数$\theta$。