请证明Lp空间是Banach空间
时间: 2024-06-06 07:07:25 浏览: 20
要证明Lp空间是Banach空间,我们需要证明它是一个完备的空间,即每个柯西序列(Cauchy sequence)都收敛到该空间中的一个元素。
考虑一个在Lp空间中的柯西序列 {fn},即对于任意 ε > 0,存在 N ∈ N,使得当 n, m > N 时,有 ||fn − fm||p < ε。
我们需要构造一个函数 f,使得当 n → ∞ 时,fn 逐点收敛到 f。由于Lp空间的元素是等价类,我们可以选择序列 {gn},其中 gn 是等价类中的一个代表,满足gn = fn a.e.(几乎处处相等)。我们可以考虑定义函数 f(x) = limn→∞ gn(x)。由于每个gn都是Lp空间中的元素,所以它们是有界的。因此,根据Lebesgue控制收敛定理,当 n → ∞ 时,有
||f − gn||p → 0
由于fn是柯西序列,因此对于任意 ε > 0,存在 N ∈ N,使得当 n, m > N 时,有
||fn − fm||p < ε
由于gn是等价类中的一个代表,所以它们在几乎处处相等。因此,对于几乎所有的 x,当 n, m > N 时,有
|fn(x) − fm(x)| < ε
根据极限的定义,我们可以得到
|f(x) − fn(x)| ≤ |f(x) − gn(x)| + |gn(x) − fn(x)|
由于 ||f − gn||p → 0,所以当 n → ∞ 时,|f(x) − gn(x)| → 0。另外,由于 gn = fn a.e.,所以当 n, m > N 时,|gn(x) − fn(x)| < ε a.e.。因此,当 n → ∞ 时,|f(x) − fn(x)| → 0 a.e.。
综上所述,我们得到了一个函数 f,使得 fn 逐点收敛到 f。我们还需要证明 f 属于 Lp 空间。由于每个 gn 都属于 Lp 空间,所以它们的 Lp 范数有界。因此,对于几乎所有的 x,我们有
|f(x)| ≤ limn→∞ |gn(x)| ≤ limn→∞ ||gn||p
由于 ||gn||p 有界,所以我们可以得到 ||f||p ≤ limn→∞ ||gn||p < ∞。因此,f 属于 Lp 空间。
综上所述,我们得到了一个在 Lp 空间中收敛的序列 {fn} 的极限 f,因此 Lp 空间是一个完备的空间,即是一个 Banach 空间。
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