用Jacobi方法计算实对称矩阵的全部特征值和特征向量，用python实现，并说明原理

Jacobi方法是一种基于相似变换的迭代算法，用于寻找实对称矩阵的全部特征值和特征向量。其基本思想是通过一系列相似变换将原矩阵对角化，从而得到特征值和特征向量。

具体实现步骤如下：

1. 对于一个实对称矩阵A，令Q为单位矩阵，B=A。

2. 找到矩阵B中最大的非对角元素b_ij（i≠j），并记录其位置(i,j)。

3. 将矩阵B通过给定的Givens旋转矩阵R_i,j对应的列和行进行相似变换，即B=R_i,j'BR_i,j，其中R_i,j'表示R_i,j的转置矩阵。这样做的目的是将矩阵B的第i行和第j列的元素变为0，同时保持矩阵B的对称性和正定性。

4. 更新矩阵Q，即Q=Q*R_i,j。这样做的目的是记录相似变换的过程，以便最终求出特征向量。

5. 重复步骤2-4，直到矩阵B的非对角元素的绝对值都小于给定的收敛阈值或达到最大迭代次数。

6. 矩阵B的对角线元素即为矩阵A的特征值，矩阵Q的列向量即为矩阵A的特征向量。

Python代码实现如下：

import numpy as np

def Jacobi(A, eps=1e-8, max_iter=1000):
    n = A.shape[0]
    Q = np.eye(n)
    B = np.copy(A)
    iter_num = 0
    while iter_num < max_iter:
        max_off_diag = np.max(np.abs(np.triu(B, k=1)))
        if max_off_diag < eps:
            break
        for i in range(n-1):
            for j in range(i+1, n):
                if np.abs(B[i, j]) == max_off_diag:
                    theta = 0.5 * np.arctan2(2*B[i, j], B[i, i]-B[j, j])
                    c = np.cos(theta)
                    s = np.sin(theta)
                    G = np.eye(n)
                    G[i, i] = c
                    G[j, j] = c
                    G[i, j] = -s
                    G[j, i] = s
                    B = G.T @ B @ G
                    Q = Q @ G
        iter_num += 1
    eigvals = np.diag(B)
    eigvecs = Q
    return eigvals, eigvecs

其中，A为输入的实对称矩阵，eps为收敛阈值，max_iter为最大迭代次数。函数返回矩阵A的特征值和特征向量。