设前提集合 T ={ PV - S , P →( Q - R ), Q }，公式 G - SVR 。证明「→ G 。

为了证明「→ G，我们需要证明 T ⊢ G。

首先根据 T 中的第一个前提 PV - S，我们可以得到 PV → S，因为 S 是 PV 的补集。接着，根据 T 中的第二个前提 P → (Q - R)，我们可以得到 P → Q 和 P → ~R，其中 ~R 表示 R 的补集。最后，根据 T 中的第三个前提 Q，我们可以得到 Q。

现在我们来利用这些前提来推导 G - SVR。根据 G - SVR 的定义，我们需要证明 G ∧ ~S ∧ ~V ∧ ~R。我们可以分别证明这四个部分。

首先，由于我们已经证明了 PV → S，因此 ~S → ~PV，即 S 的补集能够推出 PV 的补集。因为 G 中包含了 V 的补集 ~V 和 R 的补集 ~R，所以 ~S → ~(V ∪ R)。根据德摩根定律，我们可以将 ~S → ~(V ∪ R) 转化为 ~(V ∪ R) → S。因此，我们得到了第一个结论 G ∧ ~(V ∪ R) → S。

接着，根据 P → Q 和 Q，我们可以得到 P ∧ Q。因为 G 中包含了 P 的补集 ~P，所以 ~P → ~(P ∧ Q)。根据德摩根定律，我们可以将 ~P → ~(P ∧ Q) 转化为 P ∧ ~(P ∧ Q) → ~P。因此，我们得到了第二个结论 G ∧ P ∧ ~(P ∧ Q) → ~P。

现在我们将第一个结论和第二个结论合并起来，得到了以下推导：

G ∧ ~(V ∪ R) ∧ P ∧ ~(P ∧ Q) → S ∧ ~P

根据 T 中的前提 P → (Q - R)，我们可以得到 P → Q，因此 ~(P ∧ Q) → ~P。将其代入上式，得到：

G ∧ ~(V ∪ R) ∧ P ∧ ~(P ∧ Q) ∧ ~(P ∧ Q) → S ∧ ~P

因为 ~(P ∧ Q) 推出了 ~(V ∪ R)，所以我们可以将上式中的 ~(V ∪ R) 替换成 ~(P ∧ Q)，得到：

G ∧ ~(P ∧ Q) ∧ P ∧ ~(P ∧ Q) ∧ ~(P ∧ Q) → S ∧ ~P

根据德摩根定律，我们可以将 ~(P ∧ Q) 转化为 ~P ∨ ~Q，得到：

G ∧ (~P ∨ ~Q) ∧ P ∧ ~P ∧ ~Q → S ∧ ~P

因为 P ∧ ~P 等价于假命题，所以可以将其去掉，得到：

G ∧ ~Q → S ∧ ~P

根据 T 中的前提 Q，我们可以得到 Q → G，将其代入上式，得到：

~Q ∨ G ∧ ~Q → S ∧ ~P

根据逻辑等价式 A → B 等价于 ~A ∨ B，可以将上式转化为：

~Q → S ∧ ~P ∨ G ∧ ~Q → S ∧ ~P

接着，我们需要分别证明两个命题，即 ~Q → S ∧ ~P 和 G ∧ ~Q → S ∧ ~P。

对于 ~Q → S ∧ ~P，因为 Q 已经在 T 中出现，所以我们可以将这个命题转化为 ~P → ~Q。根据 T 中的前提 P → (Q - R)，我们可以得到 P → Q，即 Q 是 P 的充分必要条件。因此，~P → ~Q，即 ~P → ~(Q ∧ R)。将其代入上式，得到：

~P → ~(Q ∧ R)

因此，~Q → S ∧ ~P 推出了 G - SVR 中的第三个条件 ~R。

对于 G ∧ ~Q → S ∧ ~P，我们可以将其转化为 ~S ∧ ~P → ~(G ∧ ~Q)。根据 T 中的前提 PV - S，我们可以得到 ~S → ~PV。因为 G 中包含了 V 的补集 ~V，所以 ~S → ~P ∧ ~V。将其代入上式，得到：

~P ∧ ~V → ~(G ∧ ~Q)

因为 G ∧ ~Q 等价于 ~Q ∧ G，所以我们可以将上式转化为：

~P ∧ ~V → ~Q ∨ ~G

根据 T 中的前提 P → (Q - R)，我们可以得到 P → Q，因此 ~(P ∧ ~Q)，即 ~P ∨ Q。将其代入上式，得到：

(~P ∨ Q) ∧ ~V → ~Q ∨ ~G

根据逻辑等价式 A → B 等价于 ~A ∨ B，我们可以将上式转化为：

~(~P ∨ Q) ∨ (~Q ∨ ~G)

即：

(P ∧ ~Q) ∨ (~Q ∨ ~G)

因此，G ∧ ~Q → S ∧ ~P 推出了 G - SVR 中的第一个条件 G，以及第二个条件 ~V。

综上所述，我们利用 T 中的前提推导出了 G - SVR，因此 T ⊢ G，即「→ G。