为什么两个向量叉乘结果平行四边形面积
时间: 2023-06-23 11:03:49 浏览: 1440
两个向量的叉积的结果是一个向量,其大小等于两个向量所张成的平行四边形的面积,方向垂直于这个平行四边形的平面,并且遵循右手法则。
为什么叉积的大小等于平行四边形的面积呢?因为两个向量的叉积的大小等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。这个结论可以从向量的投影和叉积的定义出发来推导。
我们可以将两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 投影到它们所张成的平行四边形的两个相邻边上,得到两个矩形的面积,如下图所示:
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两个矩形的面积分别为:
$S_1 = \Vert \vec{a} \Vert \cdot \Vert \vec{b} \cdot \sin \theta \Vert$
$S_2 = \Vert \vec{b} \Vert \cdot \Vert \vec{a} \cdot \sin \theta \Vert$
其中,$\theta$ 是两个向量之间的夹角。因为 $\vec{a} \cdot \sin \theta$ 和 $\vec{b} \cdot \sin \theta$ 都是这两个向量所张成的平行四边形的高,所以这两个矩形的面积相等,即 $S_1 = S_2$。
又因为两个向量的叉积的大小等于两个矩形的面积之和,即 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert = S_1 + S_2$,所以 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert = \Vert \vec{a} \Vert \cdot \Vert \vec{b} \cdot \sin \theta \Vert$,即两个向量的叉积的大小等于它们所张成的平行四边形的面积。