为什么两个向量叉乘结果是行列式的值

首先，两个向量的叉积（也称为向量积）是一个向量，不是一个标量。两个向量的叉积的长度等于这两个向量所张成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形的平面。

其次，两个向量的叉积的坐标可以表示为一个行列式的形式，即：

$$
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$

其中，$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$ 分别是 $x$、$y$、$z$ 三个方向的单位向量，$a_1$、$a_2$、$a_3$ 和 $b_1$、$b_2$、$b_3$ 分别是两个向量的坐标。

这个行列式的值等于两个向量的叉积的长度，也就是所张成的平行四边形的面积。同时，它的符号表示了两个向量的叉积的方向，符号为正表示两个向量的叉积的方向指向平面法向量所在的方向，符号为负则相反。

相关问题

为什么两个向量叉乘结果平行四边形面积

两个向量的叉积的结果是一个向量，其大小等于两个向量所张成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形的平面，并且遵循右手法则。

为什么叉积的大小等于平行四边形的面积呢？因为两个向量的叉积的大小等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。这个结论可以从向量的投影和叉积的定义出发来推导。

我们可以将两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 投影到它们所张成的平行四边形的两个相邻边上，得到两个矩形的面积，如下图所示：


两个矩形的面积分别为：

$S_1 = \Vert \vec{a} \Vert \cdot \Vert \vec{b} \cdot \sin \theta \Vert$

$S_2 = \Vert \vec{b} \Vert \cdot \Vert \vec{a} \cdot \sin \theta \Vert$

其中，$\theta$ 是两个向量之间的夹角。因为 $\vec{a} \cdot \sin \theta$ 和 $\vec{b} \cdot \sin \theta$ 都是这两个向量所张成的平行四边形的高，所以这两个矩形的面积相等，即 $S_1 = S_2$。

又因为两个向量的叉积的大小等于两个矩形的面积之和，即 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert = S_1 + S_2$，所以 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert = \Vert \vec{a} \Vert \cdot \Vert \vec{b} \cdot \sin \theta \Vert$，即两个向量的叉积的大小等于它们所张成的平行四边形的面积。

matlab两个向量叉乘

在 MATLAB 中，可以使用 `cross` 函数对两个向量进行叉乘运算。叉乘运算用于计算两个三维向量的垂直于它们的向量。

以下是使用 `cross` 函数进行向量叉乘的示例：

% 定义两个向量
vector1 = [1, 2, 3];
vector2 = [4, 5, 6];

% 计算向量叉乘
result = cross(vector1, vector2);

% 输出结果
disp(result);

输出结果将会是一个包含三个元素的向量，表示叉乘的结果。请注意，叉乘运算只适用于三维向量。如果你要计算二维向量的叉乘，可以将其扩展为三维向量再进行计算。