决策函数的法向量是怎么算出来的

在机器学习中，决策函数可以表示为线性方程的形式：y = wx + b，其中w是特征向量，x是输入向量，b是偏置项，y是输出值。

假设我们有n个训练样本，每个样本都有m个特征。我们可以将所有的训练样本的特征以及对应的标签组成一个矩阵X和一个向量y。矩阵X的每一行表示一个样本的特征，向量y表示每个样本对应的标签。

现在，我们需要找到一个决策函数，使得对于所有的样本i，都有y[i] = w * x[i] + b。我们可以将这个问题转化为一个最小二乘问题，即：

minimize J(w) = (1/2) * sum(y[i] - w * x[i] - b)^2

我们可以通过求解上述最小二乘问题来得到最优的权重向量w和偏置项b。最小二乘问题的解可以表示为：

w = (XTX)^(-1)XTy

其中，XT表示X的转置，(XTX)^(-1)表示XTX的逆矩阵。因此，我们可以通过上述公式计算出最优的权重向量w。决策函数的法向量就是最优的权重向量w。

相关问题

决策函数的法向量是通过最小二乘法求出来的特征向量，那请问决策函数的斜率又是怎么得出来的

决策函数的斜率是由法向量计算出来的。在二分类问题中，假设我们有一个决策边界 $w^Tx+b=0$，其中 $w$ 是一个特征向量，$x$ 是输入特征向量，$b$ 是偏置。对于任意一个点 $x$，它到决策边界的距离可以用 $d(x)=\frac{|w^Tx+b|}{\|w\|}$ 来表示。当我们想要最小化所有点到决策边界的距离时，我们需要最小化以下目标函数：

$$\min_{w,b}\frac{1}{2}\|w\|^2$$

$$s.t.\ y_i(w^Tx_i+b)\geq 1,\ i=1,2,...,n$$

其中，$y_i$ 是样本 $x_i$ 的标签，$\|w\|$ 表示向量 $w$ 的模长。这个问题可以通过拉格朗日乘数法转化为一个对偶问题，可以用核函数进行非线性分类。在对偶问题中，最终的决策函数的斜率可以通过对支持向量的权重进行加权求和得到。

为什么决策函数的斜率是特征向量的模

对于线性分类器，假设我们有一个超平面 $w^Tx+b=0$，其中 $w$ 是超平面的法向量，$b$ 是超平面的截距。给定一个数据点 $x_i$，我们可以通过计算它到超平面的距离来决定它属于哪一类。这个距离可以用点 $x_i$ 到超平面的投影长度来表示，即

$$
\frac{|w^Tx_i+b|}{\|w\|}
$$

其中 $\|w\|$ 表示 $w$ 的模长。

为了将数据点分类到正确的类别，我们需要找到一个决策函数 $f(x)$，它将数据点映射到超平面两侧的某个类别。一种常用的方式是使用符号函数，即

$$
f(x) = \text{sign}(w^Tx+b)
$$

如果 $w^Tx+b \ge 0$，则 $f(x)=1$；否则，$f(x)=-1$。这样得到的决策函数可以将数据点正确地分类到超平面两侧的不同类别。

我们可以把 $w$ 看做是超平面的法向量，它决定了超平面的方向。特征向量 $x$ 定义了数据点在特征空间中的方向。斜率是两个向量之间的夹角的正切值。因此，当我们计算决策函数的斜率时，实际上是计算超平面法向量 $w$ 和数据点 $x$ 的夹角的正切值。由于 $w$ 的模长为 $\|w\|$，因此当我们计算决策函数的斜率时，实际上也是在计算超平面法向量 $w$ 和数据点 $x$ 的夹角的正切值，即

$$
\frac{w^Tx}{\|w\|\|x\|}
$$

注意到 $x$ 的模长为 $\|x\|$，因此 $\frac{w^Tx}{\|w\|\|x\|}$ 可以简化为 $\frac{w^Tx}{\|w\|}$。因此，决策函数的斜率实际上就是超平面法向量 $w$ 的模长，即特征向量的模。