计算卷积y(t)=f(t)*u(t)

假设$f(t)$和$u(t)$是两个函数，$*$表示卷积运算，那么卷积$y(t)$可以表示为：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)u(t-\tau)d\tau$$

其中，$\tau$是积分变量，$-\infty$到$\infty$表示积分范围。该式表示了$f(t)$和$u(t)$在时域上的乘积的积分结果。

具体地，我们可以采用以下步骤计算卷积：

1. 将$f(t)$和$u(t)$反转（取反）：$f(-t)$和$u(-t)$；
2. 将$f(-t)$和$u(t-\tau)$相乘：$f(-t)u(t-\tau)$；
3. 对$t$积分，积分范围为$-\infty$到$\infty$：$\int_{-\infty}^{\infty}f(-t)u(t-\tau)dt$；
4. 将积分结果关于$\tau$取反：$\int_{-\infty}^{\infty}f(-\tau)u(t-\tau)d\tau$。

因此，卷积$y(t)$可以表示为：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)u(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}f(-t)u(\tau-t)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}f(-\tau)u(t-\tau)d\tau$$

其中，任意一个式子都可以用来计算卷积结果。

相关问题

已知某LTI 系统的单位冲激响应为h(t)=(e-t+e-2t)u(t) ，指定输入激励为f(t)=e-tu(t)，使用conv 函数计算系统的零状态响应。

好的，根据您的问题，我可以告诉您如下的解决方案：

根据卷积定理，系统的零状态响应可以表示为输入信号f(t)与单位冲激响应h(t)的卷积积分。即：

y(t) = f(t) * h(t)

其中 * 表示卷积运算，y(t) 表示系统的响应。

根据题意可得：

f(t) = e^(-t)u(t)

h(t) = (e^(-t) + e^(-2t))u(t)

因此，将 f(t) 和 h(t) 带入卷积公式，得到：

y(t) = f(t) * h(t)

= ∫[0,t] f(τ)·h(t-τ) dτ

= ∫[0,t] e^(-τ)·(e^(-(t-τ)) + e^(-2(t-τ)))u(τ) dτ

= ∫[0,t] e^(-2τ+t) + e^(-3τ+2t) dτ

= (1/2)e^(-t) - (1/3)e^(-2t) + (1/3)e^(-3t)

因此，系统的零状态响应为 y(t) = (1/2)e^(-t) - (1/3)e^(-2t) + (1/3)e^(-3t)。

接下来，您可以使用 MATLAB 中的 conv 函数计算系统的响应。具体操作如下：

% 定义输入信号和单位冲激响应
t = 0:0.01:5;
f = exp(-t).*heaviside(t);
h = (exp(-t) + exp(-2*t)).*heaviside(t);

% 计算卷积积分
y = conv(f, h, 'same')*0.01;

% 绘制系统的响应曲线
plot(t, y);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('System response');

运行以上代码，即可得到系统的响应曲线。需要注意的是，在使用 conv 函数计算卷积积分时，需要将结果乘以采样间隔，才能得到正确的数值。

已知某LTI 系统的单位冲激响应为h(t)=(e-t+e-2t)u(t) ，指定输入激励为f(t)=e-tu(t)，使用lsim 函数计算系统的零状态响应。

好的，根据您的问题，我可以告诉您如下的解决方案：

根据卷积定理，系统的零状态响应可以表示为输入信号f(t)与单位冲激响应h(t)的卷积积分。即：

y(t) = f(t) * h(t)

其中 * 表示卷积运算，y(t) 表示系统的响应。

根据题意可得：

f(t) = e^(-t)u(t)

h(t) = (e^(-t) + e^(-2t))u(t)

因此，将 f(t) 和 h(t) 带入卷积公式，得到：

y(t) = ∫[0,t] f(τ)·h(t-τ) dτ

= ∫[0,t] e^(-τ)·(e^(-(t-τ)) + e^(-2(t-τ)))u(τ) dτ

= ∫[0,t] e^(-2τ+t) + e^(-3τ+2t) dτ

= (1/2)e^(-t) - (1/3)e^(-2t) + (1/3)e^(-3t)

因此，系统的零状态响应为 y(t) = (1/2)e^(-t) - (1/3)e^(-2t) + (1/3)e^(-3t)。

接下来，您可以使用 MATLAB 中的 lsim 函数计算系统的响应。具体操作如下：

% 定义输入信号
t = 0:0.01:5;
f = exp(-t).*heaviside(t);

% 定义系统的单位冲激响应
h = @(t) (exp(-t) + exp(-2*t)).*heaviside(t);

% 计算系统的零状态响应
y = lsim(tf(1, 1, 'InputDelay', 0), f, t, 'InitialCondition', 0, 'CustomResponse', h);

% 绘制系统的响应曲线
plot(t, y);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('System response');

运行以上代码，即可得到系统的响应曲线。