求空间直线上一点在坐标轴平面上的投影点

设空间直线上的一点为 $P(x_0, y_0, z_0)$，坐标轴平面的方程为 $z=0$。该直线的方向向量可以表示为 $\vec{v} = (a, b, c)$，其中 $a,b,c$ 不全为 0。则该直线上任意一点 $Q$ 可以表示为 $Q(x_0 + at, y_0 + bt, z_0 + ct)$，其中 $t$ 为任意实数。

该直线上某点 $Q$ 在坐标轴平面上的投影点 $Q'$ 满足 $Q'$ 到直线的距离最短，即 $\overrightarrow{PQ'}$ 在直线上的投影点为 $Q$。

因此，$Q'$ 可以表示为 $Q' = Q - \operatorname{proj}_{\vec{v}} \overrightarrow{PQ} = Q - \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v}$。

将 $Q$ 和 $\vec{v}$ 的坐标代入上式，化简得到：

$$
Q' = \left(x_0 + \frac{ac(x_0 - a t) + ab(y_0 - b t)}{a^2+b^2+c^2}, y_0 + \frac{bc(y_0 - b t) + ab(x_0 - a t)}{a^2+b^2+c^2}, 0\right)
$$

因此，求得空间直线上一点 $Q$ 在坐标轴平面上的投影点 $Q'$ 的坐标为 $(x_0 + \frac{ac(x_0 - a t) + ab(y_0 - b t)}{a^2+b^2+c^2}, y_0 + \frac{bc(y_0 - b t) + ab(x_0 - a t)}{a^2+b^2+c^2}, 0)$。