推导不同二维Gauss投影平面坐标系转换模型

假设我们有两个二维Gauss分布，分别是 $(\mu_1, \Sigma_1)$ 和 $(\mu_2, \Sigma_2)$。其中，$\mu_i$ 是一个二维均值向量，$\Sigma_i$ 是一个 $2\times2$ 的协方差矩阵。我们可以用下面的公式将它们投影到一个低维空间：

$$
y_i = W^T x_i
$$

其中，$x_i$ 是我们要投影的高维向量，$W$ 是一个 $2\times k$ 的矩阵，$k$ 是我们要投影到的低维空间的维度，$y_i$ 是我们得到的低维向量。为了让投影后的低维向量仍然具有高斯分布，我们需要找到一个合适的 $W$ 矩阵。

我们首先将两个高斯分布做差，得到一个新的高斯分布：

$$
(\mu_1 - \mu_2, \Sigma_1 + \Sigma_2)
$$

我们希望将它投影到一条直线上，使得投影后的两个分布的方差之和最小。我们可以通过最大化投影后的方差来实现这个目标，即：

$$
\max_{\|w\|=1} w^T (\Sigma_1 + \Sigma_2) w
$$

这个问题可以通过拉格朗日乘数法来求解。我们定义拉格朗日函数：

$$
L(w, \lambda) = w^T (\Sigma_1 + \Sigma_2) w - \lambda(w^T w - 1)
$$

对 $w$ 求导并令导数等于零，得到：

$$
2(\Sigma_1 + \Sigma_2) w - 2\lambda w = 0
$$

这个方程的解是：

$$
\Sigma_1^{-1} + \Sigma_2^{-1} = \lambda w w^T
$$

我们将上面的式子左右两边同时乘以 $\Sigma_1 + \Sigma_2$，得到：

$$
(\Sigma_1 + \Sigma_2)(\Sigma_1^{-1} + \Sigma_2^{-1}) = \lambda (\Sigma_1 + \Sigma_2) w w^T
$$

化简得到：

$$
w = (\Sigma_1 + \Sigma_2)^{-1} (\mu_1 - \mu_2)
$$

这个 $w$ 就是我们要找的投影矩阵的第一列。我们可以通过 Gram-Schmidt 过程得到投影矩阵的其他列。最终的投影矩阵 $W$ 就是由这些列组成的。