二次积分函数是凸函数吗
时间: 2023-12-29 20:06:10 浏览: 35
二次积分函数是凸函数。
二次积分函数的一般形式为 $f(x)=\frac{1}{2}\int_{0}^{x} t^2 dt = \frac{1}{6}x^3$。我们可以证明,对于任意的 $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ 和 $0 \leq \lambda \leq 1$,都有:
$$
f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)
$$
即二次积分函数满足凸函数的定义条件,因此是一个凸函数。
证明:
首先,我们有:
$$
\begin{aligned}
\lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2) &= \frac{\lambda}{6}x_1^3 + \frac{1-\lambda}{6}x_2^3 \\
&= \frac{1}{6} (\lambda x_1^3 + (1-\lambda) x_2^3)
\end{aligned}
$$
然后,我们考虑 $f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)$:
$$
\begin{aligned}
f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) &= \frac{1}{2}\int_{0}^{\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2} t^2 dt \\
&= \frac{1}{2}\int_{0}^{\lambda x_1} t^2 dt + \frac{1}{2}\int_{\lambda x_1}^{\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2} t^2 dt \\
&= \frac{\lambda^3}{6}x_1^3 + \frac{1}{6}\left(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2\right)^3 - \frac{\lambda^3}{6}x_1^3 \\
&= \frac{1}{6}(\lambda x_1^3 + (1-\lambda) x_2^3 + 3\lambda(1-\lambda)x_1^2x_2 + 3\lambda^2(1-\lambda)x_1x_2^2)
\end{aligned}
$$
接着,我们考虑 $f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) - (\lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2))$:
$$
\begin{aligned}
&f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) - (\lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)) \\
=& \frac{1}{6}(\lambda x_1^3 + (1-\lambda) x_2^3 + 3\lambda(1-\lambda)x_1^2x_2 + 3\lambda^2(1-\lambda)x_1x_2^2) \\
&- \frac{1}{6} (\lambda x_1^3 + (1-\lambda) x_2^3) \\
=& \frac{1}{6} \lambda(1-\lambda) (3x_1^2x_2+3x_1x_2^2-2x_1^3-2x_2^3) \\
=& \frac{1}{6} \lambda(1-\lambda) (x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2) \\
=& \frac{1}{6} \lambda(1-\lambda) (x_1-x_2)^2(x_1+x_2) \\
\leq& 0
\end{aligned}
$$
因此,我们得到了 $f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)$,即二次积分函数满足凸函数的定义条件,因此是一个凸函数。
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