二维复化梯形公式求函数的二重积分

二维复化梯形公式是一种求函数的二重积分的数值积分方法。可以按照以下步骤进行：

1. 将积分区间 [a,b] × [c,d] 分割成 m × n 个小矩形，其中 m 和 n 分别表示 x 和 y 方向上的小矩形数。

2. 计算每个小矩形的面积，设第 i 行、第 j 列小矩形的面积为 Δxi × Δyj。

3. 计算每个小矩形的积分值，使用梯形公式计算，即将每个小矩形分成两个三角形，分别计算两个三角形的面积并乘以函数值，再求和。设第 i 行、第 j 列小矩形的积分值为 Tij，则有：

Tij = (f(xi,yj) + f(xi+1,yj) + f(xi,yj+1) + f(xi+1,yj+1)) × Δxi × Δyj / 4，

其中 xi 和 xi+1 分别为第 i 行小矩形的左右两个端点的 x 坐标，yj 和 yj+1 分别为第 j 列小矩形的上下两个端点的 y 坐标。

4. 将所有小矩形的积分值 Tij 相加，得到函数在积分区间上的近似积分值：

I ≈ ΣΣ Tij。

最终得到的 I 即为函数的二重积分的数值近似值。

需要注意的是，为了提高计算精度，通常需要将积分区间分割得足够细，即使用较大的 m 和 n，同时可以根据需要使用更高阶的数值积分方法。

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利⽤⼆维复化梯形公式与⼆维复化 Simpson 公式计算函数的⼆重积分

二维复化梯形公式与二维复化Simpson公式都是数值积分方法，用于近似计算二重积分的值。它们的基本思想都是将积分区域分成若干个小子区域，然后在每个小子区域内使用一维复化梯形公式或复化Simpson公式来近似计算被积函数的积分值，最后将所有小子区域的积分值加起来得到整个积分的近似值。

二维复化梯形公式的公式为：

$$
I \approx \frac{h_1h_2}{4}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(x_i,y_j)
$$

其中，$h_1$和$h_2$分别为$x$和$y$方向上的步长，$n$和$m$分别为$x$和$y$方向上的小子区域数，$x_i$和$y_j$分别为$x$和$y$方向上的小子区域的中心点坐标，$f(x_i,y_j)$为被积函数在点$(x_i,y_j)$处的函数值。

二维复化Simpson公式的公式为：

$$
I \approx \frac{h_1h_2}{9}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(x_i,y_j)S_{ij}
$$

其中，$S_{ij}$为在小子区域$(x_{i-1},x_i)\times(y_{j-1},y_j)$上使用复化Simpson公式计算积分的结果。

在MATLAB中，可以使用dblquad函数来实现二重积分的计算，例如计算函数$f(x,y) = x^2+y^2$在区域$[0,1]\times[0,1]$上的积分：

f = @(x,y) x.^2 + y.^2;
a = 0; b = 1;
n = 100; m = 100;
h1 = (b-a)/n; h2 = (b-a)/m;
x = linspace(a+h1/2,b-h1/2,n);
y = linspace(a+h2/2,b-h2/2,m);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
I_trap = h1*h2/4*sum(sum(f(X,Y)));
I_simp = h1*h2/9*sum(sum(f(X,Y).*s));

其中，meshgrid函数用于生成二维网格点坐标，s为一个与网格大小相同的矩阵，每个元素为小子区域上使用复化Simpson公式计算积分的结果。

分别用复化梯形公式、复化Simpson公式和Romberg公式计算给定函数的数值积分

给定函数：$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，积分区间为$[0,1]$。

1. 复化梯形公式：

根据复化梯形公式，数值积分的近似值为：

$$
\begin{aligned}
I &= \frac{h}{2} \left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]\\
&= \frac{1}{2} \left[f(0)+2\sum_{i=1}^{4}f\left(\frac{i}{4}\right)+f(1)\right]\\
&\approx 0.7853975
\end{aligned}
$$

其中，$h=\frac{1-0}{n}=0.25$，$x_i=0+ih$。

2. 复化Simpson公式：

根据复化Simpson公式，数值积分的近似值为：

$$
\begin{aligned}
I &= \frac{h}{3} \left[f(x_0)+4\sum_{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i})+2\sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+f(x_n)\right]\\
&= \frac{1}{6} \left[f(0)+4\sum_{i=1}^{2}f\left(\frac{i}{4}\right)+2\sum_{i=1}^{3}f\left(\frac{2i-1}{6}\right)+f(1)\right]\\
&\approx 0.7853982
\end{aligned}
$$

其中，$h=\frac{1-0}{n}=0.25$，$x_i=0+ih$。

3. Romberg公式：

根据Romberg公式，可以通过构造一个二维递推表来计算数值积分的近似值。

首先，使用复化梯形公式计算$I_{1,1}$：

$$I_{1,1} = \frac{h}{2} \left[f(x_0)+f(x_n)\right] \approx 0.7853982$$

然后，对$I_{1,1}$应用复化梯形公式和复化Simpson公式，得到$I_{2,1}$和$I_{2,2}$：

$$
\begin{aligned}
I_{2,1} &= \frac{1}{2}I_{1,1} + h \sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1}) \approx 0.7823668\\
I_{2,2} &= \frac{4I_{2,1}-I_{1,1}}{3} \approx 0.7851134
\end{aligned}
$$

接着，对$I_{2,1}$和$I_{2,2}$应用复化梯形公式和复化Simpson公式，得到$I_{3,1}$、$I_{3,2}$和$I_{3,3}$：

$$
\begin{aligned}
I_{3,1} &= \frac{1}{2}I_{2,1} + \frac{h}{2} \sum_{i=1}^{n/4}f(x_{4i-2}) + \frac{h}{2} \sum_{i=1}^{n/4}f(x_{4i}) \approx 0.7853581\\
I_{3,2} &= \frac{4I_{3,1}-I_{2,1}}{3} \approx 0.7853974\\
I_{3,3} &= \frac{16I_{3,2}-I_{2,2}}{15} \approx 0.7853982
\end{aligned}
$$

最终，可以得到数值积分的近似值$I\approx I_{3,3}=0.7853982$。