编程实现对数几率回归算法。

对数几率回归（Logistic Regression）是一种用于解决二分类问题的监督学习算法。它的主要思想是，将线性回归模型的输出通过一个非线性函数（sigmoid函数）映射到0和1之间，从而得到样本属于每一类的概率。本文将介绍如何使用Python实现对数几率回归算法。

首先，我们需要准备一些数据。在本例中，我们将使用Scikit-learn自带的鸢尾花数据集来进行二分类预测。

from sklearn.datasets import load_iris
import pandas as pd
import numpy as np
 
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['target'] = iris.target
df = df[df['target'] != 2]  # 只保留两类
X = np.array(df.drop(['target'], axis=1))
y = np.array(df['target'])

接下来，我们需要将数据集分成训练集和测试集。我们可以使用Scikit-learn的train_test_split函数进行划分。

from sklearn.model_selection import train_test_split
 
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

接下来，我们需要定义sigmoid函数。sigmoid函数的公式为：

$$\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

然后，我们需要定义成本函数。对于对数几率回归，成本函数的公式为：

$$J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}\log(h_{\theta}(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))]$$

其中，$h_{\theta}(x)$表示sigmoid函数的输出，$\theta$表示模型的参数，$m$表示样本数量。

def cost_function(theta, X, y):
    h = sigmoid(np.dot(X, theta))
    m = len(y)
    J = -1 / m * np.sum(y * np.log(h) + (1 - y) * np.log(1 - h))
    return J

接着，我们需要定义梯度下降函数。梯度下降的公式为：

$$\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j}$$

其中，$\alpha$表示学习率。

对于对数几率回归，参数的更新公式为：

$$\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$$

def gradient(theta, X, y):
    h = sigmoid(np.dot(X, theta))
    m = len(y)
    grad = 1 / m * np.dot(X.T, h - y)
    return grad

最后，我们可以使用梯度下降算法来训练模型，并进行预测。

def logistic_regression(X, y, alpha, num_iters):
    m, n = X.shape
    theta = np.zeros(n)
    J_history = []
    for i in range(num_iters):
        J = cost_function(theta, X, y)
        grad = gradient(theta, X, y)
        theta -= alpha * grad
        J_history.append(J)
    return theta, J_history
 
theta, J_history = logistic_regression(X_train, y_train, 0.01, 1000)
 
h = sigmoid(np.dot(X_test, theta))
y_pred = np.round(h)
 
from sklearn.metrics import accuracy_score
 
print('Accuracy:', accuracy_score(y_test, y_pred))

这样，我们就完成了对数几率回归算法的实现。