用C语言编写程序：有n行m列的矩形框，填入数字1，2，3…n*m,每个数字只能使用1次，要求左边的数字比右边的大，上边的数字比下边大，请编写程序求出有多少种填写方法。

在C语言中，解决这个问题可以使用回溯法或者深度优先搜索（DFS）。因为需要满足递增条件，我们可以从左上角开始填充，并尝试所有可能的下一个数字，每次递归检查是否满足递增规则，如果满足则继续，如果不满足则回溯并尝试其他数字。

以下是一个简单的C语言函数，用于计算满足条件的填充方法数：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <limits.h>

bool is_valid(int grid[GRID_SIZE][GRID_SIZE], int row, int col, int num) {
    if (col > 0 && num <= grid[row][col - 1]) return false;
    if (row > 0 && num <= grid[row - 1][col]) return false;
    return true;
}

int count_ways(int n, int m, int grid[GRID_SIZE][GRID_SIZE]) {
    static const int GRID_SIZE = n * m;
    if (row == n && col == m)
        return 1; // 如果到达了右下角，找到了一种有效填法

    int count = 0;
    for (int num = 1; num <= n * m; num++) {
        if (is_valid(grid, row, col, num)) { // 检查当前数字是否合法
            grid[row][col] = num;
            count += count_ways(n, m, grid); // 递归尝试下一个位置
            grid[row][col] = 0; // 回溯，恢复格子状态
        }
    }
    return count;
}

int main() {
    int n, m;
    printf("Enter the number of rows and columns: ");
    scanf("%d %d", &n, &m);

    int grid[n * m][n * m];
    int result = count_ways(n, m, grid);
    printf("Number of ways to fill the rectangle with valid numbers: %d\n", result);

    return 0;
}

在这个程序中，`count_ways()` 函数会遍历所有的数字并尝试在每一步中选择合适的数值，如果当前位置不符合递增规则，则回溯到上一个状态。