在多元线性回归模型中，如何正确计算判定系数R²和调整判定系数R²_1，以及它们各自在模型评估中扮演的角色是什么？

在多元线性回归分析中，判定系数R²是衡量模型拟合优度的关键统计量，它表明了模型可以解释因变量变异的比例。计算R²的公式为R² = 1 - (RSS / TSS)，其中RSS是残差平方和，TSS是总平方和。R²的取值范围在0到1之间，值越高表示模型解释了更多的变异性。然而，在多元回归中，随着自变量数量的增加，R²会自然增加，即使这些变量对模型的解释能力贡献很小。为了克服这个问题，引入了调整后的判定系数R²_1，其计算公式为R²_1 = 1 - [(RSS / (n - k - 1)) / (TSS / (n - 1))]，其中n是样本数量，k是自变量的数量。R²_1在考虑了自变量数量的情况下调整了R²，因此它是一个更为严格的拟合优度衡量指标，可以防止模型因增加不具统计显著性的变量而产生误导性的高拟合优度。在模型评估中，R²告诉我们模型在解释数据变异性方面的能力，而R²_1则帮助我们更准确地评估包括多个自变量的模型的拟合质量，避免过度拟合。理解并正确使用这两个统计量对于构建有效的统计模型至关重要。

参考资源链接：[线性回归分析：相关系数r与判定系数R²解析](https://wenku.csdn.net/doc/1r4eft7sy1?spm=1055.2569.3001.10343)

相关问题

一元线性回归中判定系数和变差代表的是什么意思，请举例说明

一元线性回归中的判定系数（R²）是用来衡量自变量对因变量的解释程度，其取值范围在到1之间，越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。变差代表（SSE）是残差平方和，表示实际值与预测值之间的误差，其值越小表示模型对数据的拟合程度越好。

举个例子，假设我们想预测某个城市的房价与房屋面积的关系，我们可以使用一元线性回归模型，其中房屋面积是自变量，房价是因变量。我们通过收集一些房屋面积和房价的数据，建立回归模型，然后使用判定系数和变差代表来评估模型的拟合程度。如果判定系数接近1，变差代表较小，说明我们的模型对数据的拟合程度较好，可以用来预测房价。

最小二乘法多元线性回归分析

最小二乘法多元线性回归是一种统计学方法，用于建立两个或更多自变量与因变量之间的线性关系模型。它基于这样一个目标：寻找能够使所有观测值到预测值的误差平方和（残差平方和）最小的最佳拟合直线或超平面。这种方法主要用于预测和理解数据中的趋势，以及确定各输入特征对输出的影响程度。

基本步骤包括：
1. 确定假设模型：如 y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + ε，其中y是因变量，x1,x2...是自变量，β0至βn是未知的系数，ε是随机误差项。
2. 计算估计系数：通过求解一组线性方程组或矩阵运算找出使得残差平方和最小的β值。
3. 判定显著性：通常会计算调整后的R²、F统计量等来评估模型的拟合度及其各参数的显著性。