由晶体光学第一基本方程推导菲涅尔方程，并求解两个本征折射率

晶体光学第一基本方程可以表示为：

$$
\frac{\sin{i}}{\sin{r}} = \frac{n_2}{n_1}
$$

其中，$i$ 是入射角，$r$ 是折射角，$n_1$ 和 $n_2$ 分别是两种介质的折射率。

对于平面波在两种介质之间的反射和折射，可以使用菲涅尔方程来描述。菲涅尔方程包括两个式子，分别是反射波和折射波的振幅比：

$$
\frac{E_{r}}{E_{i}} = \frac{r_{\mathrm{p}}-r_{\mathrm{s}} e^{2 i \delta}}{r_{\mathrm{p}}+r_{\mathrm{s}} e^{2 i \delta}} \\
\frac{E_{t}}{E_{i}} = \frac{2 n_{1} \cos i}{n_{1} \cos r+n_{2} \cos i}
$$

其中，$E_i$、$E_r$ 和 $E_t$ 分别代表入射波、反射波和折射波的电场振幅，$r_{\mathrm{p}}$ 和 $r_{\mathrm{s}}$ 分别是平行和垂直于入射面的反射系数，$\delta$ 是相位差，$n_1$ 和 $n_2$ 分别是两种介质的折射率。

为了求解两个本征折射率，我们需要先了解晶体的光学性质。晶体具有各向异性，也就是说，它的折射率随着光线方向的不同而不同。在某些方向上，光线的折射率是不变的，这些方向就是晶体的光学轴。在这些方向上，光线的振动方向和传播方向一致，称为正交振动模式。在其他方向上，光线的振动方向和传播方向不一致，称为非正交振动模式。

晶体的折射率可以用一个张量表示，称为折射率张量。对于各向异性晶体，折射率张量是一个非对称张量。它可以被分解为一个对称部分和一个反对称部分，其中对称部分的本征值是晶体的本征折射率，反对称部分描述了晶体的双折射性质。

对于一个光线沿着晶体的光学轴传播，它的折射率是不变的，因此这个光线的振动方向和传播方向一致，是正交振动模式。在这种情况下，晶体的折射率张量可以被简化为一个对角矩阵，本征值即为晶体的本征折射率。

因此，我们可以通过测量不同方向上的折射率来确定晶体的本征折射率。具体方法是使用偏振光将晶体切割成不同的形状，并测量不同方向上的折射率。这些折射率可以用来重构折射率张量，并求解本征折射率。

总之，菲涅尔方程可以用来描述平面波在两种介质之间的反射和折射，晶体的折射率则可以通过测量不同方向上的折射率来确定。对于一个沿着晶体光学轴传播的光线，它的折射率是不变的，因此晶体的本征折射率可以通过测量不同方向上的折射率来求解。