用状态空间表示法求某长方体的表面积为150平方米,求其表面积不变的前提下体积的最大值,及对应最大体积的长、宽、高的值
时间: 2024-03-07 13:54:17 浏览: 19
状态空间表示法可以将系统的状态表示为一个向量,每个分量代表系统某个方面的状态,然后通过状态转移函数来描述系统状态的演化。对于这个问题,我们可以将长方体的三个边长$a,b,c$作为状态空间的状态,将表面积$S$作为状态转移函数,建立状态空间模型。
状态空间表示:
- 状态:$x = [a, b, c]^T$
- 状态转移函数:$S=2(ab+bc+ca)$
- 目标函数:$V=abc$
为了求解体积的最大值,我们需要进行约束优化。将表面积公式代入目标函数中,得到$V=abc=\frac{150bc}{2(b+c)}=\frac{75bc}{b+c}$。将$V$看作关于$b, c$的函数,对其求偏导数并令其等于0,得到$\frac{\partial V}{\partial b}=0$,$\frac{\partial V}{\partial c}=0$,解得$b=c$。将$b=c$带入约束条件,得到$ab+2b^2=75$。将$a=75/2b-b^2$带入$V$的式子中,得到$V=\frac{75b^2}{4}-\frac{5625}{16b}$。将$V$看作关于$b$的函数,对其求导数并令其等于0,得到$b=\sqrt[3]{\frac{5625}{64}}\approx8.27$。根据$b=c$,得到$a\approx10.39$。最大体积为$V\approx722.91$,对应的长、宽、高分别为$a\approx10.39$、$b\approx8.27$、$c\approx8.27$。
因此,该问题的状态空间表示法模型为:
- 状态:$x = [a, b, c]^T$
- 状态转移函数:$S=2(ab+bc+ca)$
- 目标函数:$V=abc$
- 约束条件:$ab+2b^2=75$
- 最大值:$V_{max}\approx722.91$
- 对应最大值时的长、宽、高:$a\approx10.39$、$b\approx8.27$、$c\approx8.27$