设(w1,w2,w3,w4)=(10,15,6,9), (p1,p2,p3,p4)=(2,5,8,1)。生成每个fi阶跃点的序偶集合Si，0≤i≤4

根据题意，我们需要生成每个阶跃点的序偶集合。首先，我们需要确定每个阶跃点的位置。

根据题意，我们有：

- f0 = 0
- f1 = w1
- f2 = w1 + w2
- f3 = w1 + w2 + w3
- f4 = w1 + w2 + w3 + w4

接下来，我们可以根据每个阶跃点的位置，来生成对应的序偶集合。

- S0 = {(0, 0)}
- S1 = {(0, p1), (w1, p1)}
- S2 = {(0, p1), (w1, p1), (w1, p1 + p2), (w1 + w2, p1 + p2)}
- S3 = {(0, p1), (w1, p1), (w1, p1 + p2), (w1 + w2, p1 + p2), (w1 + w2, p1 + p2 + p3), (w1 + w2 + w3, p1 + p2 + p3)}
- S4 = {(0, p1), (w1, p1), (w1, p1 + p2), (w1 + w2, p1 + p2), (w1 + w2, p1 + p2 + p3), (w1 + w2 + w3, p1 + p2 + p3), (w1 + w2 + w3, p1 + p2 + p3 + p4), (w1 + w2 + w3 + w4, p1 + p2 + p3 + p4)}

其中，序偶集合的元素为(x, y)，表示在x时刻（时间点）有一个阶跃点，其高度为y。

相关问题

设0/1背包问题实例(w1,w2,w3,w4)=(10,15,6,9), (p1,p2,p3,p4)=(2,5,8,1)，M=35，求函数阶跃点的序偶集合（0≤i≤4），并给出决策序列。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。设f[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中能够得到的最大价值，则状态转移方程为：

f[i][j] = max{f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + p[i]}，其中w[i]表示第i个物品的重量，p[i]表示第i个物品的价值。

根据状态转移方程，我们可以逐步计算f[i][j]的值。具体地，我们可以先计算出f[0][0...M]的值，然后依次计算f[1][0...M]、f[2][0...M]、f[3][0...M]、f[4][0...M]的值。

计算过程如下表所示：

| i\j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 8 | 8 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 8 | 8 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 |

我们可以看到，当j=2时，f[1][2]发生了变化，因此(1,2)是函数阶跃点之一；当j=5时，f[2][5]发生了变化，因此(2,5)是函数阶跃点之一；当j=10时，f[3][10]发生了变化，因此(3,10)是函数阶跃点之一；当j=11时，f[4][11]发生了变化，因此(4,11)是函数阶跃点之一。

决策序列为：(4,11)→(3,10)→(2,5)→(1,2)→(0,0)。

用贪心算法求0/1背包问题， n=5, (W1, W2, W3, W4, Ws)=(2, 2, 6, 5, 4),(P1, P2, P3, P4, P5)=(6, 3, 5, 4, 6), M=10

0/1背包问题是指在给定的一组物品中，选择若干个物品装入背包，使得背包中物品的总重量不超过背包容量，且价值最大。贪心算法是一种基于贪心思想的算法，它每次选择当前最优的解决方案，最终得到全局最优解。但是，对于0/1背包问题，贪心算法并不一定能得到最优解。

对于这个问题，我们可以按照物品的单位重量价值从大到小排序，然后依次将物品放入背包中，直到背包装满或者所有物品都放入背包为止。具体实现可以参考下面的代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Item {
    int weight;
    int value;
    double unitValue;
};

bool cmp(Item a, Item b) {
    return a.unitValue > b.unitValue;
}

double knapsack(Item items[], int n, int capacity) {
    sort(items, items + n, cmp);
    double maxValue = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (capacity >= items[i].weight) {
            maxValue += items[i].value;
            capacity -= items[i].weight;
        } else {
            maxValue += items[i].unitValue * capacity;
            break;
        }
    }
    return maxValue;
}

int main() {
    int n = 5;
    int capacity = 10;
    Item items[n] = {{2, 6}, {2, 3}, {6, 5}, {5, 4}, {4, 6}};
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        items[i].unitValue = (double)items[i].value / items[i].weight;
    }
    double maxValue = knapsack(items, n, capacity);
    cout << "The maximum value is " << maxValue << endl;
    return 0;
}