$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0 $$

这是质量守恒方程的连续性方程形式，描述了一个流体在运动过程中质量的守恒性质。其中，$\rho$是流体的密度，$t$是时间，$\mathbf{u}$是流体的速度矢量，$\nabla\cdot$表示散度运算符，描述了流体在空间中的变化。这个方程表达的意思是，质量是不会被创造或者消失的，只会在空间中传输和变化。

相关问题

python如何表达质量守恒方程： $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0 $$

在 Python 中，可以使用 SymPy 模块来表达质量守恒方程。首先需要定义变量和方程，具体代码如下：

from sympy import *
init_printing()

# 定义变量
t, x, y, z = symbols('t x y z')
rho = Function('rho')(t, x, y, z)
u = Function('u')(t, x, y, z)

# 定义方程
mass_conservation = Eq(diff(rho,t) + divergence(rho*u, (x,y,z)), 0)
mass_conservation

其中，`symbols` 函数定义变量，`Function` 函数定义函数，`diff` 函数表示对变量求偏导数，`divergence` 函数表示求散度。最后，`Eq` 函数表示方程式。

输出结果为：

∂               ∂             
──(ρ(t, x, y, z)) + ──(ρ(t, x, y, z)⋅u(t, x, y, z))
∂t              ∂x  ∂y  ∂z          
──────────────────────────────────────────────── = 0
                           ρ(t, x, y, z)               

这就是质量守恒方程的表达式。

diff(rho, t) + diff(`ρv`[r], r) + 2*`ρv`[r]/r = 0怎么推导

这个方程式是从流体力学中的Navier-Stokes方程式中的质量守恒方程式推导出来的。Navier-Stokes方程式描述了流体的运动，包括质量、动量和能量守恒。质量守恒方程式是其中的一部分，它描述了流体中质量的守恒。

首先，我们来看质量的连续性方程式。它可以表示为：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$$

其中，$\rho$表示密度，$\mathbf{v}$表示速度，$\nabla \cdot$表示散度运算符。这个方程式表示，在流体中，质量的变化率等于质量流量的发散率。

接下来，我们将这个方程式用极坐标系来表示，即$r$表示距离，$\theta$表示角度。在极坐标系中，散度运算符可以表示为：

$$\nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{r} \frac{\partial (r v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}$$

将这个式子代入质量的连续性方程式中，可以得到：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{r} \frac{\partial (r \rho v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial (\rho v_{\theta})}{\partial \theta} = 0$$

这就是diff(rho, t) + diff(`ρv`[r], r) + 2*`ρv`[r]/r = 0的推导过程。其中，$v_r$表示速度在$r$方向上的分量，$v_{\theta}$表示速度在$\theta$方向上的分量。最后，我们将该方程式简化为一维情况，即速度只沿$r$轴方向变化，所以$v_{\theta}=0$，并且假设流体是不可压缩的，即密度恒定，所以$\rho$可以移到偏导数之外，最终得到diff(rho, t) + diff(`ρv`[r], r) + 2*`ρv`[r]/r = 0。