求∑ _n=0^∞ ((−1)^n sin(n + 1) 4/π) /2^( n+1/ 2) (z − 1)^n的收敛域

根据幂级数收敛定理，该幂级数的收敛半径为

$$
R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|
$$

其中，$a_n=\frac{(-1)^n\sin(n\pi/4)}{2^{\sqrt{n}}}$。

因为 $\sin(n\pi/4)$ 的周期为 $8$，当 $n=8k$ 时有 $\sin(n\pi/4)=0$，因此 $a_{8k}=0$。当 $n\neq 8k$ 时，$|\sin(n\pi/4)|=1$，因此 $|a_n|=|a_{n-8k}|=\frac{1}{2^{\sqrt{n}}}$。

当 $n\rightarrow\infty$ 时，$\sqrt{n}$ 的增长速度远大于 $8k$ 的增长速度，因此可以将 $n-8k$ 看作 $n$，即

$$
R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{\sqrt{n+1}}}{2^{\sqrt{n}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=2
$$

因此，该幂级数在 $|z-1|<2$ 的区域内绝对收敛，在 $|z-1|>2$ 的区域内发散。当 $|z-1|=2$ 时需要使用根值测试来确定收敛性。

相关问题

𝑦[𝑛]=1/𝑀 ∑_(𝑘=0)^(𝑀−1)▒𝑥[𝑛−𝑘] 的频率响应怎么求

这是一个移动平均滤波器的频率响应，可以通过对其进行Z变换来求解。

首先，我们知道移动平均滤波器的差分方程为：

y[n] = (1/M) * (x[n] + x[n-1] + ... + x[n-M+1])

将其转化为Z域表达式：

Y(z) = (1/M) * (X(z) + X(z) * z^(-1) + ... + X(z) * z^(-M+1))

将X(z)提取出来，得到：

Y(z) = X(z) * (1/M) * (1 + z^(-1) + ... + z^(-M+1))

因此，移动平均滤波器的频率响应为：

H(z) = (1/M) * (1 + z^(-1) + ... + z^(-M+1))

将z=e^(jw)代入，得到：

H(e^(jw)) = (1/M) * (1 + e^(-jw) + ... + e^(-j(M-1)w))

化简得：

H(e^(jw)) = (1/M) * (1 - e^(-jMw)) / (1 - e^(-jw))

因此，移动平均滤波器的频率响应为：

H(e^(jw)) = (1/M) * (sin(Mw/2) / sin(w/2)) * e^(-j(M-1)w/2)

其中，w为频率，M为滤波器的阶数。

𝑥 ̇_1=𝑥_2; 𝑥 ̇_2=g+〖(2πrz sin⁡𝜃)/𝑚（"F" 〗_𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙−𝜎_𝑀𝑒𝑐ℎ𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑙） =g+(2𝜋𝑟𝑧 sin⁡𝜃)/𝑚 {𝜀_r 𝜀_0 𝐴 𝑈^2/𝑧^2 -[c(𝑥_1 𝑥_2)/(𝑙_0 √(𝑙_0^2+𝑥_1^2 ))+k"(" √(𝑙_0^2+𝑥_1^2 )/𝑙_0 )+𝜕𝐸/(𝜕 √(𝑙_0^2+𝑥_1^2 )/𝑙_0 )-1/(√(𝑙_0^2+𝑥_1^2 )/𝑙_0 ) ]}; y=𝑥_1 将其生成matlab的

首先，我们需要将该微分方程写成MATLAB代码的形式，如下所示：

function dxdt = myodefun(t, x, r, z, m, Fmaxwell, sigma, epsr, eps0, A, U, l0, c, k, E)
% 系统参数
g = 9.81; % 重力加速度

% 状态变量
x1 = x(1); % 位置
x2 = x(2); % 速度

% 计算控制输入
theta = atan(x1/l0); % 计算角度
F = epsr*eps0*A*U^2/(z^2) - (c*x1*x2)/(l0*sqrt(l0^2+x1^2)) - k*(sqrt(l0^2+x1^2)/l0) - (E/sqrt(l0^2+x1^2)); % 计算力
F = min(Fmaxwell, F); % 限制最大力
u = (2*pi*r*z*sin(theta))/(m*(F-sigma)); % 计算控制输入

% 计算状态变量的导数
dx1dt = x2;
dx2dt = g + (2*pi*r*z*sin(theta))/(m*(F-sigma));

% 返回状态变量的导数
dxdt = [dx1dt; dx2dt];
end

然后，我们需要调用MATLAB的ODE求解器来求解该微分方程的解，如下所示：

% 设置系统参数
r = 1; % 轮子半径
z = 1; % 轮子高度
m = 1; % 小车质量
Fmaxwell = 10; % 最大力
sigma = 1; % 摩擦力
epsr = 1; % 相对介电常数
eps0 = 8.854e-12; % 真空介电常数
A = 1; % 电极面积
U = 1; % 电压
l0 = 1; % 小车长度
c = 1; % 阻尼系数
k = 1; % 弹簧系数
E = 1; % 电场强度

% 设置初始状态和时间范围
x0 = [1; 0];
tspan = [0 10];

% 解微分方程
[t, x] = ode45(@(t, x) myodefun(t, x, r, z, m, Fmaxwell, sigma, epsr, eps0, A, U, l0, c, k, E), tspan, x0);

% 绘制结果
plot(t, x(:, 1), 'LineWidth', 2);
xlabel('Time (s)', 'FontSize', 14);
ylabel('Position', 'FontSize', 14);
title('System Response', 'FontSize', 16);

在上述代码中，我们首先定义了一个函数`myodefun`，用于表示微分方程的右侧。然后，我们调用MATLAB的ODE求解器`ode45`来求解微分方程的解。最后，我们绘制了结果。为了方便起见，我们在这里假设控制输入为常数，实际上控制输入应根据系统状态变量的值进行计算。