求∑ _n=0^∞ ((−1)^n sin(n + 1) 4/π) /2^( n+1/ 2) (z − 1)^n的收敛域

根据幂级数收敛定理，该幂级数的收敛半径为

$$
R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|
$$

其中，$a_n=\frac{(-1)^n\sin(n\pi/4)}{2^{\sqrt{n}}}$。

因为 $\sin(n\pi/4)$ 的周期为 $8$，当 $n=8k$ 时有 $\sin(n\pi/4)=0$，因此 $a_{8k}=0$。当 $n\neq 8k$ 时，$|\sin(n\pi/4)|=1$，因此 $|a_n|=|a_{n-8k}|=\frac{1}{2^{\sqrt{n}}}$。

当 $n\rightarrow\infty$ 时，$\sqrt{n}$ 的增长速度远大于 $8k$ 的增长速度，因此可以将 $n-8k$ 看作 $n$，即

$$
R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{\sqrt{n+1}}}{2^{\sqrt{n}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=2
$$

因此，该幂级数在 $|z-1|<2$ 的区域内绝对收敛，在 $|z-1|>2$ 的区域内发散。当 $|z-1|=2$ 时需要使用根值测试来确定收敛性。