假定一个底面半径为 r，高度为 H 的圆锥形雪堆，其融化时体积的变化率正比于雪堆的锥面面积，比例常数为 k（k 与环境的相对湿度、阳光、空气温度等因素有关）。假设雪堆在假设过程中形状保持不变，解决以下问题：（1）给出高度h与时间t的函数关系式；（2）设圆锥形雪锥的底面半径r为0.5m，高度h为1m，已知1小时内融化了其体积的1/4，还需要多长时间可以全部融化？（给出matlab代码）

(1) 设雪堆体积为 V，半径为 r，高度为 h，则根据圆锥体积公式有：

V = 1/3 * π * r^2 * h

对两边同时关于时间 t 求导数，得：

dV/dt = 1/3 * π * (2rh * dh/dt + r^2 * dh/dt)

根据题意，融化时体积的变化率正比于雪堆的锥面面积，则有：

dV/dt = k * π * r * sqrt(r^2 + h^2)

将上面两个式子相等，整理得：

dh/dt = k * (sqrt(r^2 + h^2) / (2r + h))

将上面的式子分离变量并积分，得：

∫(h1, h2) dh / (sqrt(r^2 + h^2) / (2r + h)) = ∫(t1, t2) k dt

其中，h1 为初始高度，h2 为任意时刻高度，t1 为初始时间，t2 为任意时刻时间。

对左侧积分进行变量代换，令 u = sqrt(r^2 + h^2)，则有：

∫(u1, u2) (2r+u)/(u^2-r^2) du = ∫(t1, t2) k dt

对左侧积分进行部分分式分解，得：

1/2 * ln|(u+2r)/(u-2r)| ∣∣u1^u2 = k * (t2-t1)

代入初始条件 h=h1, t=0，得：

1/2 * ln|(sqrt(r^2+h1^2)+2r)/(sqrt(r^2+h1^2)-2r)| = k * t

整理得高度 h 与时间 t 的函数关系式为：

h = sqrt((e^(2kt) - 1) * r^2 + h1^2) - r

(2) 已知 1 小时内融化了其体积的 1/4，即有：

∫(0, 1) (1/4)V dt = 1/4 * V = ∫(0, 1) k * π * r * sqrt(r^2 + h^2) dt

代入初始条件 h=h1=1m，r=0.5m，解方程 e^(2kt) = 5/4，得：

t = 1/2k * ln(5/4)

用 MATLAB 实现如下：

% 定义常数
r = 0.5; % 底面半径
h1 = 1; % 初始高度
k = 1; % 比例常数

% 求解全部融化需要的时间
t = 1/(2*k) * log(5/4);

% 输出结果
fprintf('全部融化需要 %.2f 小时\n', t);