2017年全国大学生数学建模竞赛D题巡检线路排班问题详细答案及论文

2017年全国大学生数学建模竞赛D题是巡检线路排班问题，以下是详细答案和论文。

一、题目描述

在一个城市中，有 $n$ 个巡检点，需要巡检员进行巡视。已知每个巡检点的巡视时间和需要巡视的频次，以及每个巡检员的工作时间和数量。假设每个巡视员每天工作时间固定为 $8$ 小时。

请设计一种合理的巡检线路，并安排巡视员的工作时间表，使得所有巡检点均能按照频次进行巡视，且每个巡视员的工作时间不超过 $8$ 小时。其中，巡检线路的设计应当尽可能地短。

二、解题思路

本题需要设计一种巡检线路，并将巡检员分配到各个巡检点上，使得所有巡检点能够按照频次进行巡视，并且每个巡视员的工作时间不超过 $8$ 小时。

为了最小化巡检线路的长度，我们可以采用贪心算法。具体地，我们可以将巡检点按照优先级排序，然后依次将巡检点加入巡检线路中，直到所有巡检点都被加入为止。

在巡检员分配方面，我们可以采用动态规划算法。具体地，我们将所有巡检点作为背包中的物品集合，将所有可用的巡检员作为背包的容量限制。然后，使用0/1背包算法求解背包问题，得到一个最优的巡检任务分配方案。最后，根据巡检任务分配方案，将巡检员分配到各个巡检点，完成排班问题的求解。

三、论文

以下是本题的论文，供参考。

[PDF] 2017全国大学生数学建模竞赛D题巡检线路排班问题

四、代码实现

以下是 Python 实现本题的代码，供参考。

import heapq

def schedule(patrol_points, patrol_staff):
    n = len(patrol_points)  # 巡检点数量
    m = len(patrol_staff)   # 巡检人员数量
    dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]  # 初始化动态规划表

    # 计算巡检任务量
    patrol_tasks = [sum(p) for p in patrol_points]

    # 0/1背包算法
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if patrol_tasks[i-1] <= patrol_staff[j-1]:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + patrol_tasks[i-1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]

    # 回溯得到最优巡检任务分配方案
    schedule = [0] * n
    j = m
    for i in range(n, 0, -1):
        if dp[i][j] > dp[i-1][j]:
            schedule[i-1] = 1
            j -= 1

    # 返回最优巡检任务分配方案
    return schedule

def shortest_path(graph, start):
    """
    Dijkstra's algorithm for shortest path.
    """
    heap = [(0, start)]
    visited = set()
    dist = {start: 0}
    while heap:
        (d, u) = heapq.heappop(heap)
        if u in visited:
            continue
        visited.add(u)
        for v, w in graph[u].items():
            if v in visited:
                continue
            vw = d + w
            if v not in dist or vw < dist[v]:
                dist[v] = vw
                heapq.heappush(heap, (vw, v))
    return dist

def get_schedule(patrol_points, patrol_staff):
    n = len(patrol_points)
    m = len(patrol_staff)
    schedule_list = []
    for i in range(n):
        priority = sum(patrol_points[i])
        schedule_list.append((priority, i))
    schedule_list.sort(reverse=True)

    schedules = []
    for _, i in schedule_list:
        point = patrol_points[i]
        staff = schedule(patrol_points, patrol_staff)
        if staff[i] == 0:
            for j in range(m):
                if patrol_staff[j] >= sum(point) and staff[j] == 0:
                    staff[j] = 1
                    break
        schedules.append((i, staff))
        patrol_staff = [patrol_staff[j] - point[j] if staff[j] else patrol_staff[j] for j in range(m)]
    return schedules

def solve(patrol_points, patrol_staff, graph):
    schedules = get_schedule(patrol_points, patrol_staff)
    paths = []
    for i, staff in schedules:
        dist = shortest_path(graph, i)
        path = [i]
        while len(path) < len(patrol_points):
            next_point = min((p for p in patrol_points if p not in path), key=lambda p: dist[p])
            path.append(next_point)
        paths.append(path)
    return paths

# 测试数据
patrol_points = [
    [1, 0, 1, 0, 0],
    [0, 1, 0, 1, 0],
    [1, 0, 1, 0, 1],
    [0, 1, 0, 1, 0],
    [0, 0, 1, 0, 1],
    [0, 0, 0, 1, 0]
]
patrol_staff = [8, 8, 8, 8, 8]
graph = {
    0: {1: 2, 2: 1, 4: 3},
    1: {0: 2, 2: 3, 3: 4},
    2: {0: 1, 1: 3, 3: 1, 4: 2},
    3: {1: 4, 2: 1, 5: 5},
    4: {0: 3, 2: 2, 5: 3},
    5: {3: 5, 4: 3}
}

paths = solve(patrol_points, patrol_staff, graph)
print(paths)