matlab如何编写正规方程组如何
时间: 2023-07-20 20:08:32 浏览: 44
在Matlab中,可以使用以下代码来求解正规方程组:
```matlab
% 创建一个数据矩阵X和响应向量y
X = [ones(m, 1), data(:,1)]; % m为数据个数,data(:,1)为自变量
y = data(:, 2); % 因变量
% 求解正规方程组
theta = pinv(X'*X)*X'*y;
```
其中,pinv()函数用于计算矩阵的伪逆。上述代码中,X的第一列为全1向量,是为了处理截距项。theta为求解得到的参数向量,其中theta(1)为截距项,theta(2)为自变量的系数。
相关问题
matlab 多元线性回归方程有三个自变量,使用最小二乘估计系数
假设有 $n$ 个样本,多元线性回归方程可以表示为:
$$
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \beta_3 x_{i3} + \epsilon_i
$$
其中,$y_i$ 是第 $i$ 个样本的因变量,$x_{i1}$、$x_{i2}$、$x_{i3}$ 分别是第 $i$ 个样本的三个自变量,$\beta_0$、$\beta_1$、$\beta_2$、$\beta_3$ 分别是常数项和三个自变量的系数,$\epsilon_i$ 是第 $i$ 个样本的误差。
使用最小二乘法估计系数,需要最小化所有样本的误差平方和,即:
$$
\sum_{i=1}^{n}{\epsilon_i^2} = \sum_{i=1}^{n}{(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_{i1} - \beta_2 x_{i2} - \beta_3 x_{i3})^2}
$$
为了求解 $\beta_0$、$\beta_1$、$\beta_2$、$\beta_3$ 的值,需要对误差平方和进行求导,得到一组正规方程:
$$
\begin{cases}
n\beta_0 + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}\beta_1} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i2}\beta_2} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i3}\beta_3} = \sum_{i=1}^{n}{y_i}\\
\sum_{i=1}^{n}{x_{i1}\beta_0} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}^2\beta_1} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}x_{i2}\beta_2} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}x_{i3}\beta_3} = \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}y_i}\\
\sum_{i=1}^{n}{x_{i2}\beta_0} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}x_{i2}\beta_1} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i2}^2\beta_2} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i2}x_{i3}\beta_3} = \sum_{i=1}^{n}{x_{i2}y_i}\\
\sum_{i=1}^{n}{x_{i3}\beta_0} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}x_{i3}\beta_1} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i2}x_{i3}\beta_2} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i3}^2\beta_3} = \sum_{i=1}^{n}{x_{i3}y_i}
\end{cases}
$$
将以上方程组写成矩阵形式,即 $X\beta = Y$,其中:
$$
X = \begin{bmatrix}
1 & x_{11} & x_{12} & x_{13}\\
1 & x_{21} & x_{22} & x_{23}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
1 & x_{n1} & x_{n2} & x_{n3}
\end{bmatrix},\
\beta = \begin{bmatrix}
\beta_0\\
\beta_1\\
\beta_2\\
\beta_3
\end{bmatrix},\
Y = \begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{bmatrix}
$$
则正规方程为:
$$
(X^TX)\beta = X^TY
$$
解出系数 $\beta$ 即可。
在 MATLAB 中,可以使用 `regress` 函数求解多元线性回归的系数。例如,假设有一个 $100\times4$ 的矩阵 `data`,其中前三列为自变量,最后一列为因变量,则可以使用以下代码求解系数:
```matlab
X = data(:,1:3);
Y = data(:,4);
b = regress(Y,X);
```
其中,`b` 就是求解得到的系数。
matlab 四次多项式拟合
要在Matlab中进行四次多项式拟合,需要使用以下代码:
```matlab
x = [0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9]; % 待拟合数组的横坐标
y = [5.1234 5.3057 5.5687 5.9375 6.4370 7.0978 7.9493 9.0253 10.3627]; % 待拟合数组的纵坐标
n = 5; % 多项式拟合次数
A = zeros(n+1, n+1); % 初始化正规方程组的矩阵A
b = zeros(n+1, 1); % 初始化正规方程组的向量b
for i = 1:n+1
for j = 1:n+1
A(i,j) = sum(x.^(i+j-2)); % 计算矩阵A的元素
end
b(i,1) = sum(x.^(i-1) .* y); % 计算向量b的元素
end
c = A\b; % 求解正规方程组,得到拟合多项式的系数
fprintf('拟合多项式为:\ny = %6.4f', c(1)) % 输出多项式的第一项
for i = 2:n+1
fprintf(' + %6.4f*x^%d', c(i), i-1) % 输出多项式的其余项
end
fprintf('\n\n')
```
这段代码将对给定的横坐标数组x和纵坐标数组y进行四次多项式拟合。输出的拟合多项式将以y = c0 + c1*x + c2*x^2 + c3*x^3 + c4*x^4的形式给出,其中c0、c1、c2、c3和c4是拟合多项式的系数。