matlab 多元线性回归方程有三个自变量,使用最小二乘估计系数
时间: 2023-06-27 17:06:42 浏览: 90
假设有 $n$ 个样本,多元线性回归方程可以表示为:
$$
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \beta_3 x_{i3} + \epsilon_i
$$
其中,$y_i$ 是第 $i$ 个样本的因变量,$x_{i1}$、$x_{i2}$、$x_{i3}$ 分别是第 $i$ 个样本的三个自变量,$\beta_0$、$\beta_1$、$\beta_2$、$\beta_3$ 分别是常数项和三个自变量的系数,$\epsilon_i$ 是第 $i$ 个样本的误差。
使用最小二乘法估计系数,需要最小化所有样本的误差平方和,即:
$$
\sum_{i=1}^{n}{\epsilon_i^2} = \sum_{i=1}^{n}{(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_{i1} - \beta_2 x_{i2} - \beta_3 x_{i3})^2}
$$
为了求解 $\beta_0$、$\beta_1$、$\beta_2$、$\beta_3$ 的值,需要对误差平方和进行求导,得到一组正规方程:
$$
\begin{cases}
n\beta_0 + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}\beta_1} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i2}\beta_2} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i3}\beta_3} = \sum_{i=1}^{n}{y_i}\\
\sum_{i=1}^{n}{x_{i1}\beta_0} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}^2\beta_1} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}x_{i2}\beta_2} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}x_{i3}\beta_3} = \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}y_i}\\
\sum_{i=1}^{n}{x_{i2}\beta_0} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}x_{i2}\beta_1} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i2}^2\beta_2} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i2}x_{i3}\beta_3} = \sum_{i=1}^{n}{x_{i2}y_i}\\
\sum_{i=1}^{n}{x_{i3}\beta_0} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i1}x_{i3}\beta_1} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i2}x_{i3}\beta_2} + \sum_{i=1}^{n}{x_{i3}^2\beta_3} = \sum_{i=1}^{n}{x_{i3}y_i}
\end{cases}
$$
将以上方程组写成矩阵形式,即 $X\beta = Y$,其中:
$$
X = \begin{bmatrix}
1 & x_{11} & x_{12} & x_{13}\\
1 & x_{21} & x_{22} & x_{23}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
1 & x_{n1} & x_{n2} & x_{n3}
\end{bmatrix},\
\beta = \begin{bmatrix}
\beta_0\\
\beta_1\\
\beta_2\\
\beta_3
\end{bmatrix},\
Y = \begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{bmatrix}
$$
则正规方程为:
$$
(X^TX)\beta = X^TY
$$
解出系数 $\beta$ 即可。
在 MATLAB 中,可以使用 `regress` 函数求解多元线性回归的系数。例如,假设有一个 $100\times4$ 的矩阵 `data`,其中前三列为自变量,最后一列为因变量,则可以使用以下代码求解系数:
```matlab
X = data(:,1:3);
Y = data(:,4);
b = regress(Y,X);
```
其中,`b` 就是求解得到的系数。
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