MATLAB多元线性回归模型选择指南：AIC、BIC和交叉验证，助你找到最优模型

# 1. 多元线性回归模型简介**

多元线性回归模型是一种统计模型，用于预测一个因变量（目标变量）基于多个自变量（预测变量）的值。它采用以下方程形式：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε

其中：

* y 是因变量
* x1, x2, ..., xn 是自变量
* β0, β1, ..., βn 是模型系数
* ε 是误差项

多元线性回归模型通过拟合数据中的线性关系来工作。它确定模型系数 β0, β1, ..., βn，使模型预测与实际观测值之间的误差最小化。

# 2. 模型选择准则

### 2.1 赤池信息准则 (AIC)

赤池信息准则 (AIC) 是一种模型选择准则，用于在给定数据集的情况下比较不同的统计模型。AIC 的目标是找到在模型复杂性和模型拟合优度之间取得最佳平衡的模型。

AIC 公式如下：

AIC = 2k - 2ln(L)

其中：

* k 是模型中参数的数量
* L 是模型的最大似然函数

**AIC 的解读：**

* AIC 值越小，模型越好。
* AIC 惩罚模型复杂性（即参数数量），奖励模型拟合优度。
* 最佳模型通常具有最低的 AIC 值。

### 2.2 贝叶斯信息准则 (BIC)

贝叶斯信息准则 (BIC) 是一种类似于 AIC 的模型选择准则，但它更偏向于惩罚模型复杂性。BIC 公式如下：

BIC = k * ln(n) - 2ln(L)

其中：

* n 是数据集中的样本数量
* 其他符号与 AIC 相同

**BIC 的解读：**

* BIC 值越小，模型越好。
* BIC 比 AIC 更严格地惩罚模型复杂性。
* 最佳模型通常具有最低的 BIC 值。

### 2.3 交叉验证

交叉验证是一种评估模型泛化能力的统计技术。它通过将数据集划分为训练集和测试集来工作，并多次重复以下过程：

1. 使用训练集训练模型
2. 使用测试集评估模型的性能

**交叉验证类型：**

* **k 折交叉验证：**将数据集随机划分为 k 个相等大小的子集。每次迭代，使用 k-1 个子集作为训练集，剩余的子集作为测试集。
* **留一法交叉验证：**将数据集划分为 n 个子集，其中 n 是数据集中的样本数量。每次迭代，使用 n-1 个子集作为训练集，剩余的子集作为测试集。

**交叉验证的优点：**

* 提供模型泛化能力的无偏估计
* 减少过拟合的风险
* 允许比较不同模型的性能

# 3. 使用AIC和BIC进行模型选择

### 3.1 计算AIC和BIC

赤池信息准则 (AIC) 和贝叶斯信息准则 (BIC) 是用于模型选择的信息准则。它们通过权衡模型的拟合优度和模型复杂度来帮助选择最优模型。

**AIC** 公式如下：

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