MATLAB回归分析：模型选择与交叉验证的终极指南

# 1. 回归分析简介

回归分析是统计学中一项重要的工具，用于评估变量间的关系，尤其是预测或估计一个或多个自变量对因变量的影响。回归分析的模型多样，能够应用于广泛的领域，包括金融、生物学、工程学等。基本的线性回归是研究两个变量间关系的基础模型，而多元回归则能同时考虑多个自变量的影响，提供更加复杂和精细的分析。

回归分析的核心是建立一个数学模型来描述变量之间的关系，然后使用实际数据来估计模型参数。模型评估的常见方法包括残差分析、决定系数（R²）等，以确定模型是否有效解释了变量间的相互作用。

随着技术的发展，现代回归分析还包括了一系列高级技术，如广义线性模型、非线性回归和高维数据回归等，来处理更加复杂的统计问题。在接下来的章节中，我们将探索如何使用MATLAB这一强大的工具来进行回归分析，并深入了解其在数据分析中的应用。

# 2. MATLAB回归分析基础

## 2.1 数据预处理和探索

### 2.1.1 数据清洗和格式化

在数据分析的初期，数据清洗和格式化是至关重要的步骤，因为它能确保模型的准确性和有效性。MATLAB提供了丰富的数据处理工具，可以帮助用户快速进行数据预处理。

数据清洗包括去除重复值、填充缺失数据、纠正错误值等。在MATLAB中，可以利用`unique`函数去除数据中的重复项，使用`fillmissing`函数处理缺失值，而对于明显的错误值，可以编写自定义的异常值检测和替换逻辑。

% 假设A是包含数据的矩阵
A = [1 2 NaN; 3 4 5; 5 6 7];

% 去除重复行
A_unique = unique(A, 'rows');

% 填充缺失值，使用行平均值
A_filled = fillmissing(A_unique, 'linear', 'DataVariables', 1:3);

% 假设我们知道第一列的正常范围是1到6，可以将超出这个范围的值视为异常并替换
A_cleaned = A_filled;
A_cleaned(A_cleaned(:, 1) < 1 | A_cleaned(:, 1) > 6, 1) = mean(A_cleaned(:, 1));

以上代码块展示了如何对数据矩阵`A`进行去重、填充缺失值以及异常值替换的过程。数据预处理是建立回归模型前的必要步骤，它能显著提高模型的性能。

### 2.1.2 描述性统计分析

描述性统计分析是对数据集的基本属性进行总结和描述的过程，包括计算均值、中位数、最大值、最小值、方差和标准差等统计量。在MATLAB中，`summary`函数和`describe`函数可以快速得到这些信息。

% 继续使用上面清洗和格式化后的数据集A_cleaned
stats = describe(A_cleaned);

% 输出描述性统计信息
disp(stats);

执行上述代码后，可以得到每一列数据的均值、标准差、最小值、最大值等信息。这些统计量可以帮助我们对数据分布有一个大致了解，为后续的数据分析和模型建立提供参考依据。

## 2.2 线性回归模型建立

### 2.2.1 线性回归的基本概念

线性回归是最常见的回归分析类型之一，用于确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系。基本线性回归模型可以表示为`Y = aX + b + e`，其中Y是因变量，X是自变量，a是斜率，b是截距，e是误差项。

在MATLAB中，`fitlm`函数是建立线性回归模型的常用工具。该函数通过最小二乘法估计模型参数，提供模型参数估计、置信区间、统计显著性检验以及模型拟合优度等信息。

### 2.2.2 MATLAB中的线性回归实现

% 假设我们有自变量X和因变量Y
X = [1, 2, 3, 4, 5]';
Y = [2, 4, 6, 8, 10]';

% 使用fitlm函数建立线性回归模型
lm = fitlm(X, Y);

% 显示模型的详细信息
disp(lm);

通过上述代码，我们可以快速建立一个简单的线性回归模型，并显示模型的详细统计信息。MATLAB中的线性回归模型还可以用于预测和诊断分析。

## 2.3 模型评估和诊断

### 2.3.1 模型拟合优度的评价

模型拟合优度评价是指对模型拟合数据的准确度进行评估。在MATLAB中，可以通过R²（决定系数）来评价模型的拟合优度，R²的值越接近1，表示模型拟合效果越好。

% 继续使用之前的线性回归模型lm
% 获取R²值
r_squared = lm.Rsquared.Ordinary;

% 输出R²值
disp(['R-squared: ', num2str(r_squared)]);

此外，MATLAB还提供了其他多种评价指标，如调整R²、AIC、BIC等，这些指标可以帮助我们从不同角度综合评价模型的拟合情况。

### 2.3.2 残差分析和诊断图

残差分析是检查模型是否满足线性回归假设的重要手段。通过分析残差图，可以识别数据中可能存在的模式，如非线性、异方差性、离群点等。

MATLAB中的残差诊断可以通过`plot`函数来完成，例如：

% 继续使用之前的线性回归模型lm
% 绘制残差图
figure;
plotResiduals(lm, 'caseorder');
title('Residuals vs. Case Order');

通过上述代码，我们可以绘制出残差与案例顺序的关系图，便于识别数据中的异常点和模型的不足之处。残差图是诊断模型重要性的工具之一，可以帮助研究者进一步优化模型。

在本章节中，我们详细介绍了MATLAB在回归分析基础阶段的操作流程和关键概念，包括数据预处理、线性回归模型的建立以及模型评估和诊断等。在下一章节中，我们将探讨模型选择策略，深入理解多元回归分析以及逐步回归等高级主题。

# 3. 模型选择的策略

在回归分析中，选择合适的模型是至关重要的一步。一个良好的模型能够准确地捕捉数据中的关系，提供有效的预测或解释能力。本章将介绍多元回归分析，逐步回归以及变量选择策略，并详细讨论模型选择准则，例如AIC与BIC准则和交叉验证。

## 3.1 多元回归分析

### 3.1.1 多元回归的引入

在实际应用中，影响输出变量的因素往往不止一个。此时，单变量线性回归模型已不足以描述这种复杂的现实情况。多元回归分析能够处理这种情况，它研究一个因变量与多个自变量之间的线性关系。

多元回归模型的一般形式如下：
\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k + \epsilon \]
其中，\(Y\) 是因变量，\(X_1, X_2, \dots, X_k\) 是自变量，而\(\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_k\) 是模型参数，\(\epsilon\) 是误差项。

### 3.1.2 MATLAB中的多元回归实现

在MATLAB中，可以利用内置函数`fitlm`来实现多元回归分析。以下是一个简单的示例代码，展示了如何使用MATLAB进行多元回归分析。

% 假设A是自变量矩阵，b是因变量向量
A = [ones(size(X1)) X1 X2]; % 加入截距项
b = Y;

% 使用fitlm函数进行多元回归分析
lm = fitlm(A, b);

% 查看模型的详细信息
disp(lm);

在这段代码中，`fitlm`函数接受自变量矩阵`A`和因变量向量`b`作为输入，并返回一个线性模型对象`lm`。通过显示`lm`对象，我们可以查看模型的统计详情，比如回归系数、拟合优度以及其它诊断指标。

## 3.2 逐步回归与变量选择

### 3.2.1 步进回归的概念

逐步回归是一种基于统计准则的变量选择方法，通过添加或删除自变量来进行模型选择。在逐步回归中，通常有两种策略：向后消除和向前选择。向前选择是从模型中没有任何变量开始，逐步添加变量；而向后消除则是从模型包含所有变量开始，逐步删除变量。

### 3.2.2 MATLAB中的逐步回归实现

MATLAB提供了`stepwiselm`函数用于实现逐步回归。以下是一个简单的使用`stepwiselm`的示例。

% 假设A是自变量矩阵，b是因变量向量
A = [ones(size(X1)) X1 X2]; % 加入截距项
b = Y;

% 定义一个全模型和一个空模型
fullModel = fitlm(A, b); % 全模型包含所有自变量
emptyModel = fitlm(ones(size(X1)), b); % 空模型只包含截距项

% 使用stepwiselm进行逐步回归
[selModel,history] = stepwiselm(fullModel, 'PEnter',0.05,'PRemove',0.10,'Upper','linear','Verbose',2);

% 显示逐步回归的结果
disp(selModel);

在这段代码中，`stepwiselm`函数使用了全模型和空模型来寻找最佳的中间模型。`'PEnter'`和`'PRemove'`参数分别控制新变量进入模型的p值和已有变量从模型中移除的p值。`history`变量包含了逐步回归的详细步骤，可用于分析模型选择的整个过程。

## 3.3 模型选择准则

### 3.3.1 AIC与BIC准则

AIC（赤池信息量准则）和BIC（贝叶斯信息量准则）是用于模型选择的两种统计准则。它们都是在模型复杂度和拟合优度之间寻求平衡。AIC和BIC