MATLAB回归分析：完整流程从理论到实践

# 1. MATLAB回归分析概述

在数据分析和统计建模中，回归分析是一种核心工具，它有助于建立变量之间的关系模型，并预测或理解一个变量如何响应一个或多个预测变量的变化。MATLAB作为一款强大的数学软件，提供了丰富的函数和工具箱来实现回归分析，无论是线性回归还是非线性回归。

本章将从概念和应用两个维度对MATLAB中的回归分析进行概述。首先，我们会介绍回归分析在数据分析中的作用和重要性。然后，我们会概览MATLAB如何为回归分析提供强大的支持，包括数据准备、模型构建、参数估计和结果验证等环节。接下来的章节将会深入探讨回归分析的理论基础，以及在MATLAB中的具体实现和应用。

# 2. 回归分析的理论基础

## 2.1 回归分析的基本概念

### 2.1.1 回归分析的定义与分类

回归分析是一种统计方法，用来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系。其主要目的是预测或控制感兴趣的变量，即因变量，通过测量一个或多个自变量的变化。根据自变量的数量和性质，回归分析主要分为以下几类：

- **简单回归分析**：涉及一个自变量和一个因变量。
- **多元回归分析**：涉及两个或两个以上的自变量和一个因变量。
- **逻辑回归分析**：适用于因变量是二分类的情况。
- **多项式回归分析**：自变量和因变量之间不是线性关系，而是通过多项式函数来描述。

### 2.1.2 回归模型的数学基础

回归模型通常可以表示为：

\[ Y = f(X) + \epsilon \]

其中，\(Y\) 是因变量，\(X\) 表示自变量的集合，\(f(X)\) 是自变量与因变量之间的关系函数，而 \(\epsilon\) 是误差项，用于表示模型无法解释的随机变异。

在最简单的线性回归模型中，\(f(X)\) 是一个线性函数，形式如下：

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \ldots + \beta_p X_p + \epsilon \]

其中，\(\beta_0\) 是截距项，\(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_p\) 是回归系数，而 \(X_1, X_2, \ldots, X_p\) 为自变量。

## 2.2 线性回归分析

### 2.2.1 线性回归模型的构建

构建线性回归模型的关键是估计回归系数 \(\beta_i\)。最常见的估计方法是最小二乘法，它通过最小化误差项的平方和来寻找最佳的回归系数。对于数据集 \(\{x_{i1}, x_{i2}, \ldots, x_{ip}, y_i\}\)，最小二乘估计器 \(\hat{\beta}\) 由以下公式给出：

\[ \hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^TY \]

其中，\(X\) 是设计矩阵，每一行代表一个观测值，每一列代表一个变量，\(Y\) 是因变量向量。

### 2.2.2 最小二乘法原理及应用

最小二乘法的基本原理是使得所有观测值与模型预测值之间的垂直距离的平方和最小。这个原理可以用数学语言描述如下：

\[ \text{minimize} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 \]

其中，\(\hat{y}_i\) 是模型对第 \(i\) 个观测值的预测值。

这个方法在MATLAB中可以使用`fitlm`函数来实现。例如：

% 假设有自变量X和因变量Y
X = [ones(size(X)); X]; % 添加截距项
beta_hat = (X' * X) \ (X' * Y); % 最小二乘估计

上面的代码解释了如何使用矩阵运算来手动计算回归系数。然而，在实际操作中，我们通常直接使用`fitlm`函数：

% 使用fitlm函数直接拟合线性模型
lm = fitlm(X, Y);

这段代码将为数据集 `X` 和 `Y` 提供一个线性回归模型，其中 `fitlm` 函数自动计算回归系数及其他统计量。

## 2.3 非线性回归分析

### 2.3.1 非线性模型的识别与选择

非线性回归分析指的是因变量和自变量之间的关系不是线性的，这比线性回归模型复杂得多。非线性回归模型的形式可以非常多样，常见的有指数模型、对数模型、逻辑模型等。

非线性模型的识别通常依赖于数据特征和问题背景。选择非线性模型时，需要考虑模型的适应性、复杂性和预测能力。

在MATLAB中，`fitnlm` 函数能够拟合非线性模型。选择合适的非线性模型需要我们有扎实的统计学和领域知识作为支撑。

### 2.3.2 参数估计方法

非线性模型参数的估计比线性模型复杂。参数估计通常涉及到迭代算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。这些方法可以找到最小化误差项平方和的参数值。

MATLAB中非线性模型的参数估计可以通过以下代码实现：

nlm = fitnlm(X, Y, 'NonlinearModelType', 'gaussian');

此代码段使用高斯模型拟合了非线性回归。选择合适的模型类型和参数需要根据数据的具体情况来决定。

## 2.3.3 非线性模型的优化与评估

在找到合适的非线性模型后，我们需要对模型进行优化和评估。评估指标包括决定系数 \(R^2\)、AIC值、BIC值等。优化通常通过调整模型参数或选择不同的模型结构来完成。

MATLAB中非线性模型的优化和评估可以通过以下代码进行：

% 评估模型
nrmse = sqrt(mean((nlm.ModelInfo.Residuals.Raw(:).^2)))/std(nlm.Y);

% 优化模型
nlm2 = fitnlm(X, Y, 'NonlinearModelType', 'gaussian', 'Options', optimset('Display', 'iter'));

这段代码首先计算了非线性模型的均方根误差（RMSE），然后使用 `fitnlm` 函数