MATLAB非线性拟合模型选择策略：最优模型轻松选，拟合效果更佳

# 1. 非线性拟合概述**

非线性拟合是一种统计建模技术，用于拟合具有非线性关系的数据。与线性拟合不同，非线性拟合模型的参数不能通过解析方法求解，需要使用迭代算法。非线性拟合在许多领域都有应用，例如：

* 增长和衰减模型：模拟人口增长、放射性衰变等过程。
* 剂量-反应模型：确定药物剂量与反应之间的关系。
* 物理模型：描述物体运动、流体流动等物理现象。

# 2. 模型选择策略

模型选择是机器学习中的一个关键步骤，它决定了模型的复杂性和拟合数据的程度。在非线性拟合中，模型选择尤为重要，因为它可以防止过拟合和欠拟合问题。

### 2.1 信息准则

信息准则是衡量模型复杂性和拟合优度的标准。它们通过惩罚模型的复杂性来平衡拟合优度。

**2.1.1 赤池信息准则 (AIC)**

AIC 是一个常用的信息准则，它考虑了模型的似然函数和模型参数的数量。AIC 值越小，模型越好。

AIC = 2k - 2ln(L)

其中：

* k 是模型参数的数量
* L 是模型的似然函数

**2.1.2 贝叶斯信息准则 (BIC)**

BIC 是另一个常用的信息准则，它比 AIC 更严格地惩罚模型复杂性。BIC 值越小，模型越好。

BIC = k * ln(n) - 2ln(L)

其中：

* n 是数据集的大小

### 2.2 交叉验证

交叉验证是一种用于评估模型泛化能力的技术。它将数据集划分为多个子集，并使用不同的子集进行训练和测试。

**2.2.1 K 折交叉验证**

K 折交叉验证将数据集划分为 k 个相等的子集。每次迭代，使用 k-1 个子集进行训练，并使用剩余的子集进行测试。

**2.2.2 留一法交叉验证**

留一法交叉验证是 K 折交叉验证的一种特殊情况，其中 k 等于数据集的大小。每次迭代，使用数据集中的所有数据点进行训练，并使用一个数据点进行测试。

### 2.3 残差分析

残差分析是评估模型拟合优度的另一种方法。残差是实际值和预测值之间的差值。

**2.3.1 残差图**

残差图将残差绘制在预测值或其他相关变量上。残差图可以揭示模型中是否存在模式或异常值。

**2.3.2 正态性检验**

正态性检验用于确定残差是否服从正态分布。正态分布的残差表明模型拟合良好。

# 3. MATLAB 中的非线性拟合**

### 3.1 模型拟合函数

MATLAB 提供了多种模型拟合函数，用于拟合非线性模型。最常用的两个函数是 `lsqcurvefit` 和 `fminsearch`。

#### 3.1.1 lsqcurvefit

`lsqcurvefit` 函数使用最小二乘法拟合非线性模型。它采用以下语法：

[x, resnorm, residual, exitflag, output] = lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata)

其中：

* `fun`：模型函数，接受自变量 `xdata` 并返回因变量 `ydata`。
* `x0`：模型参数的初始估计值。
* `xdata`：自变量数据。
* `ydata`：因变量数据。
* `x`：拟合后的模型参数。
* `resnorm`：残差平方和。
* `residual`：残差向量。
* `exitflag`：退出标志，指示拟合是否成功。
* `output`：其他输出信息，如迭代次数和收敛标准。

**代码块：**

% 定义模型函数
model_fun = @(x, xdata) x(1) * exp(-x(2) * xdata);

% 数据准备
xdata = [0:0.1:10]';
ydata = exp(-xdata);

% 初始参