计算闭合曲线Integral Menger curvature的matlab程序

以下是一个计算闭合曲线Menger曲率的MATLAB程序示例：

% 输入闭合曲线的坐标
x = [0 1 2 2 1 0];
y = [0 0 1 2 2 1];

% 计算曲线上各点处的切向量
dx = diff(x);
dy = diff(y);
t = [dx; dy];
t = [t, t(:,1)]; % 最后一点的切向量是第一点的切向量

% 计算曲线上各点处的法向量
n = [-dy; dx];
n = [n, n(:,1)]; % 最后一点的法向量是第一点的法向量

% 计算曲线上各点处的曲率
k = zeros(size(x));
for i = 1:length(x)
    k(i) = (t(1,i)*n(2,i+1) - t(2,i)*n(1,i+1)) / ((t(1,i)^2 + t(2,i)^2)^(3/2));
end

% 计算曲线的Menger曲率
k_menger = abs(sum(k) / (2*pi));

disp(['Menger curvature: ', num2str(k_menger)])

该程序输入一个闭合曲线的坐标，计算曲线上各点处的切向量和法向量，然后计算曲线上各点处的曲率，最后计算曲线的Menger曲率并输出。

相关问题

计算三维闭合曲线Integral Menger curvature energy的matlab代码

以下是计算三维闭合曲线Integral Menger curvature energy的MATLAB代码：

function energy = integral_menger_curvature_energy(x,y,z)

% 计算三维闭合曲线Integral Menger curvature energy

% 输入参数：
% x: 闭合曲线上所有点的x坐标，1xn向量
% y: 闭合曲线上所有点的y坐标，1xn向量
% z: 闭合曲线上所有点的z坐标，1xn向量

% 输出参数：
% energy: 曲线的Integral Menger curvature energy

n = length(x); % 曲线上点的数量

% 计算每个点处的曲率
kappa = zeros(1,n);
for i = 1:n
    if i == 1
        p1 = [x(n), y(n), z(n)];
        p2 = [x(i), y(i), z(i)];
        p3 = [x(i+1), y(i+1), z(i+1)];
    elseif i == n
        p1 = [x(i-1), y(i-1), z(i-1)];
        p2 = [x(i), y(i), z(i)];
        p3 = [x(1), y(1), z(1)];
    else
        p1 = [x(i-1), y(i-1), z(i-1)];
        p2 = [x(i), y(i), z(i)];
        p3 = [x(i+1), y(i+1), z(i+1)];
    end
    kappa(i) = compute_curvature(p1, p2, p3);
end

% 计算Integral Menger curvature energy
energy = 0;
for i = 1:n
    energy = energy + kappa(i)^2;
end
energy = energy/n;

end

function kappa = compute_curvature(p1, p2, p3)

% 计算三个点处的曲率

% 输入参数：
% p1: 第一个点，1x3向量
% p2: 第二个点，1x3向量
% p3: 第三个点，1x3向量

% 输出参数：
% kappa: 曲率

% 计算两个相邻点之间的向量
v1 = p2 - p1;
v2 = p3 - p2;

% 计算曲率
kappa = norm(cross(v1,v2)) / norm(v1)^3;

end

代码中的 `compute_curvature` 函数计算三个点处的曲率，这里采用的是 Frenet-Serret 公式进行计算。然后根据 Integral Menger curvature energy 的定义，计算每个点处的曲率，最后求出整条曲线的 Integral Menger curvature energy。

根据论文“Analysis of the first variation and a numerical gradient flow for integral Menger curvature”中的计算 integral Menger curvature的公式编写计算integral Menger curvature的matlab代码

根据论文中的公式，计算integral Menger curvature的matlab代码如下：

function [IMC, grad] = integral_menger_curvature(X, T, lambda)
% X: 点云的坐标矩阵，每一行表示一个点的坐标
% T: 三角形面片的顶点索引矩阵，每一行表示一个三角形面片的三个顶点在X中的行索引
% lambda: 正则化参数，取值范围为[0,1]
% IMC: integral Menger curvature的值
% grad: IMC关于点云坐标的梯度

n = size(X, 1); % 点的个数
m = size(T, 1); % 面片的个数

% 计算每个面片的平面法向量
N = zeros(m, 3);
for i = 1:m
    V = X(T(i, :), :);
    N(i, :) = cross(V(2, :) - V(1, :), V(3, :) - V(1, :));
    N(i, :) = N(i, :) / norm(N(i, :));
end

% 计算每个点的邻域面片的集合
P = cell(n, 1);
for i = 1:m
    for j = 1:3
        P{T(i, j)} = [P{T(i, j)}, i];
    end
end

% 计算integral Menger curvature
IMC = 0;
grad = zeros(n, 3);
for i = 1:n
    Pi = P{i};
    Ni = length(Pi);
    if Ni >= 4
        IMC_i = 0;
        grad_i = zeros(1, 3);
        for j = 1:Ni-2
            for k = j+1:Ni-1
                for l = k+1:Ni
                    I_jkl = intersect(P{Pi(j)}, intersect(P{Pi(k)}, P{Pi(l)}));
                    if ~isempty(I_jkl)
                        X_jkl = X(T(I_jkl, :), :);
                        N_jkl = cross(X_jkl(2, :) - X_jkl(1, :), X_jkl(3, :) - X_jkl(1, :));
                        N_jkl = N_jkl / norm(N_jkl);
                        IMC_i = IMC_i + dot(N(Pi(j), :), cross(N(Pi(k), :), N(Pi(l), :))) / dot(N_jkl, cross(N(Pi(j), :), N(Pi(k), :)));
                        grad_jkl = -dot(cross(N(Pi(k), :), N(Pi(l), :)), N_jkl) / dot(N_jkl, cross(N(Pi(j), :), N(Pi(k), :)))^2;
                        grad_i = grad_i + grad_jkl * (cross(N(Pi(j), :), N(Pi(k), :)) + cross(N(Pi(j), :), N(Pi(l), :)) + cross(N(Pi(k), :), N(Pi(l), :)));
                    end
                end
            end
        end
        IMC_i = IMC_i / nchoosek(Ni, 3);
        grad_i = grad_i / nchoosek(Ni, 3);
        IMC = IMC + IMC_i;
        grad(i, :) = grad_i;
    end
end
IMC = IMC / m;

% 添加正则化项
IMC = IMC + lambda * sum(sum((X - mean(X)).^2));
grad = grad + 2 * lambda * (X - mean(X));
end

其中，IMC和grad分别为计算得到的integral Menger curvature的值和关于点云坐标的梯度。lambda为正则化参数，用于平衡IMC和点云的平均值之间的差异。