已知描述系统的差分方程为4y[𝑛] + y[𝑛 − 1] − 3y[𝑛 − 2] = 𝑥[𝑛]，激励函数为𝑥[𝑛] = 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋 12 𝑢[𝑛]，用 MATLAB 求出该系统在 0~30 采样点范围内的零状态响应。

根据差分方程，可以写出系统的传递函数：

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{4z^2-z+3}$$

将激励函数代入传递函数，得到系统的零状态响应：

$$y[n]=\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{1}{4z^2-z+3}\cdot\frac{1}{1-e^{-j\frac{\pi}{12}}z^{-1}}\right]$$

使用 MATLAB 中的函数 `iztrans` 进行反变换，得到系统的零状态响应：

syms z n
H = 1 / (4*z^2 - z + 3);
x = cos(n*pi/12)*heaviside(n);
Y = H * 1 / (1 - exp(-j*pi/12)*z^(-1));
y = iztrans(Y, z, n);
n = 0:30;
y = double(subs(y, n));
stem(n, y);
xlabel('n');
ylabel('y[n]');
title('Zero-state response');

运行代码，绘制出系统在 0~30 采样点范围内的零状态响应如下图所示：


相关问题

编程：已知描述离散系统的差分方程为6y(n) − 5y(n −1) + 2y(n − 2) = x(n) + x(n − 2)，系统输入序列x(n)=(3/4)nε(n). 用 MATLAB 绘出输入序列波形；求出输出序列（0-20）样值；绘出输出序列波形。

好的，以下是 MATLAB 代码：

% 定义差分方程
b = [1, 0, 1];
a = [6, -5, 2];

% 定义输入序列
n = 0:20;
x = (3/4).^n .* (n>=0);

% 计算输出序列
y = filter(b, a, x);

% 绘制输入序列波形图
subplot(2,1,1);
stem(n, x);
xlabel('n');
ylabel('x(n)');
title('输入序列波形');

% 绘制输出序列波形图
subplot(2,1,2);
stem(n, y);
xlabel('n');
ylabel('y(n)');
title('输出序列波形');

解释一下代码：

首先定义了差分方程的系数，其中 `b` 是分子系数，`a` 是分母系数。

然后定义输入序列 `x(n)`，这里用指数函数和阶跃函数相乘的方式生成。

接着利用 `filter` 函数求出输出序列 `y(n)`。

最后用 `subplot` 函数将输入序列波形图和输出序列波形图画在一张图上，分别用 `stem` 函数绘制。

(1) 已知系统的差分方程为 y[k]− 0.7y[k −1]+ 0.1y[k − 2] = 7 f [k]− 2 f [k −1]，输入 为 f [k] = (0.4) k u[k]。计算系统的零状态响应 y[k]、单位序列响应h[k]和阶跃 响应 g[k]，并画出相应的图形（选取 k=0:20）。

根据差分方程，可以得到系统的传递函数为：

H(z) = Y(z) / F(z) = 7 / (z^2 - 0.7z + 0.1) + 2z / (z - 2)

将输入信号 f[k] 代入，得到系统的零状态响应 y[k]：

y[k] - 0.7y[k-1] + 0.1y[k-2] = 7(0.4)^k - 2(0.4)^(k-1)

利用 Z 变换将差分方程转换为传递函数，得到：

Y(z) = (7 / (z^2 - 0.7z + 0.1) + 2z / (z - 2)) F(z)

因此，系统的单位序列响应为：

h[k] = [z^k] (7 / (z^2 - 0.7z + 0.1) + 2z / (z - 2))

系统的阶跃响应为：

g[k] = h[k] - h[k-1]

利用 MATLAB 可以进行计算和绘图。下面是 MATLAB 代码：

% 输入信号
f = (0.4) .^ (0:20);
% 系统传递函数
num = 7;
den = [1 -0.7 0.1];
sys = tf(num, den, 1) + tf([2 0], [1 -2], 1);
% 系统零状态响应
y = filter(num, den, f);
% 系统单位序列响应
h = impz(num, den, 21);
% 系统阶跃响应
g = diff(h);
% 绘图
subplot(3,1,1); stem(y); title('System Zero-State Response');
subplot(3,1,2); stem(h); title('System Unit Impulse Response');
subplot(3,1,3); stem(g); title('System Step Response');

绘制出的图形如下所示：