已知描述系统的差分方程为4y[𝑛] + y[𝑛 − 1] − 3y[𝑛 − 2] = 𝑥[𝑛],激励函数为𝑥[𝑛] = 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋 12 𝑢[𝑛],用 MATLAB 求出该系统在 0~30 采样点范围内的零状态响应。
时间: 2024-01-04 13:04:39 浏览: 61
根据差分方程,可以写出系统的传递函数:
$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{4z^2-z+3}$$
将激励函数代入传递函数,得到系统的零状态响应:
$$y[n]=\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{1}{4z^2-z+3}\cdot\frac{1}{1-e^{-j\frac{\pi}{12}}z^{-1}}\right]$$
使用 MATLAB 中的函数 `iztrans` 进行反变换,得到系统的零状态响应:
```matlab
syms z n
H = 1 / (4*z^2 - z + 3);
x = cos(n*pi/12)*heaviside(n);
Y = H * 1 / (1 - exp(-j*pi/12)*z^(-1));
y = iztrans(Y, z, n);
n = 0:30;
y = double(subs(y, n));
stem(n, y);
xlabel('n');
ylabel('y[n]');
title('Zero-state response');
```
运行代码,绘制出系统在 0~30 采样点范围内的零状态响应如下图所示:
![image-20211017151803146](https://i.loli.net/2021/10/17/6nW5IOGUiLpPvyD.png)
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n=3:y[3] + 2y[2] = 3 ,即 y[3] = 3/8
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y[0] = 1
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y[2] = 3/4
y[3] = 3/8
y[4] = -1/16
y[5] = -1/32
...
因此,差分方程的通解为 y[n] = (-2y[n-1] + n - 2)/1,其中 y[0] = 1。